?B这里, B为圆轨道所张的面上的平均磁感应强度。由④⑤式得ξ=πR2 ⑥
?t考虑电子运行一圈感应电场所做的功,由电动势的定义可得ξ=2πRE ⑦ 电子在圆轨道切向所受到的力为F=qE ⑧ 由⑥⑦⑧式得,F=
1?BeR ⑨ 2?t?B1?B= ⑩ ?t2?t(3)③和⑨式所表示的是同样的力的大小.联立③⑨式得
这就是为了使电子在不断增强的磁场中沿着半径不变的圆轨道加速运动,
?B?B和之间必须满足的定量?t?t关系.
评分参考:第 (1)问 6分 ,①②③式各 2分 ;第 (2)问10分 ,④⑤⑦⑧⑨式各2分 ;第 (3)问 4分 ,⑩式4分.
15. (20分) (1)平衡时气缸A、B内气体的压强相等,故
mAgmBg ① ?SASB由①式和题给条件得SA:SB=2:1 ②
(2)两活塞上各放一质量为2m的质点前,气体的压强pl和体积V1分别为
p1=
32mgmg ③ V1=SBh ④ ?2SASB两活塞上各放一质量为 2m的质点后,B中活塞所受到的气体压力小于它和质点所受重力之和,B中活塞将
一直下降至气缸底部为止,B中气体全部进入气缸A.假设此时气缸A中活塞并未上升到气缸顶部,气体的压强p2为p2=
4mg2mg ⑤ ?SASB设平衡时气体体积为V2.由于初态末态都是平衡态,由理想气体状态方程有
p1V1p2V2 ⑥ ?T0T0由③④⑤⑥式得V2=
33SBh =SAh ⑦ 48这时气体的体积小于气缸A的体积,与活塞未上升到气缸顶部的假设一致.
缓慢加热时,气体先等压膨胀,B中活塞不动,A中活塞上升;A中活塞上升至顶部后,气体等容升压;压强升至
h3mg时,B中活塞开始上升,气体等压膨胀。设当温度升至T时,该活塞恰位于处.此时气体的体积变为
2SBV3=
5SBh ⑧ 2气体压强p3=
3mg ⑨ SB6
设此时气缸内气体的温度为T,由 状态方程有11 由⑤⑦⑧⑨⑩式得T=5T0 ○
p2V2p3V3 ⑩ ?T0T3512 h=h ○
88(3)升高恒温槽的温度后,加热过程中,A活塞上升量为h-
3 气体对活塞所做的总功为W=4mg·h+3mg·h=4mgh 1○
11式各1分 ;评分参考:第 (1)问 3分 ,①式2分 ,②式1分 ;第(2)问 13分, ③④⑤⑥式各2分,⑦⑧⑨⑩○
2○13式各2分. 第 (3)问 4分 , 1○
16. (20分) (1)容器底部凸面两侧介质的折射率分别是n1=1.56和n0=1.0。如图,由 B点发出的经过球心C的光线BA经过顶点A后,方向不变,进入空气中;由B点发出的与BA成α角的另一条光线BD在D点折射,设折射角为φ,并与前一条出射光线交于 E点,E点即B点的像点的位置。
由折射定律和几何关系得nlsinθ=n0sinφ ① γ=α +θ ② φ=γ +β ③ 在三角形 BCD和三角形 CDE中 ,由正弦定理可得
5812CDBCCDCE? ④ ⑤ ?sin?sin?sin?sin?由于只考虑近轴光线成像,所以α、β、θ、φ都是小角度,①④⑤式可写为
n1θ= n0φ ⑥ θCD=α BC ⑦ φCD=βCE ⑧
由⑥⑦式可得α+θ=φ (1+
CDn0)＝0.82φ＜φ ⑨ BCn1所考虑的光线是会聚的,故所成的像为实像.由 ②③⑥⑦⑧式可得CE??CD??11?n0CDn0?n1BCn1CD
将题给数据代入上式得CE?11.75cm=9.75cm ⑩
11.7511??1.568.0?1.751.56由⑨式和题给数据得
BE?BA?AC?CE= (8.0-1.75+9.75)cm=16.0cm ⑩
B点发出的光线通过平凸玻璃柱,在玻璃柱对称轴上所成的像点的位置在C点正上方9.75cm处或在B点正上方16.0cm处.
(2)容器底部凸面两侧介质的折射率分别是nl=1.56和n2=1.30.如图,由B点发出的经过球心C的光线BA经过顶点A后,方向不变,进入液体中;由B点发出的与BA成α角的另一条光线BD在D点折射,设折射角为φ,并与前一条出射光线交E点,E点即B点发出的光线第一次折射后所成像点的位置.
11 γ=α +θ ○12 γ=φ +β 13 由折射定律和几何关系可得nlsinθ=n2sinφ ○○
在三角形 BCD和三角形 CDE中 ,由 正弦定理可得
11○1415式可写为 由于只考虑近轴光线成像,所以α、β、θ、φ都是小角度, ○○
6 θCD=α BC ○17 φCD=βCE 18 n1θ= n2φ 1○○
7
1617式可得α+θ=φ (1+由○○
CDn29 )＝1.07φ>φ 1○
BCn112○1316○1718式得CE?所考虑的光线是发散的,故所成的像为虚像.由○○○
?CD??n21CD
CDn2??1n1BCn1将有关数据代入上式可得 :CE?120 1.75cm=26.25cm ○
1.301.751.30??11.568.0?1.751.5619式和题给数据得BE?AC?CE?AB= (1.75+26.25-8.0)cm=20.0cm 20 由○○
B点发出的光线通过平凸玻璃柱,第一次折射后所成的像点的位置在C点正下方26.25cm处或在 B点正下方20.0cm处.
评分参考 :第 (1)问 10分 ,①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩式各 1分 ;
1112○1314○1516○1718○1920式各1分 第 (2)问 10分 , ○○○○○○
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2015年第32届物理竞赛预赛试卷及答案
