1.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG. 证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形， 所以AB，AP，AD两两垂直．
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)， C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)， G(1，2，0)．
→→
法一：EF＝(0，1，0)，EG＝(1，2，－1)， 设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，
→?EF＝0，??n·?y＝0，则?即?
→??x＋2y－z＝0，EG＝0，??n·
令z＝1，则n＝(1，0，1)为平面EFG的一个法向量， →
因为PB＝(2，0，－2)，
→→所以PB·n＝0，所以n⊥PB，
因为PB平面EFG，所以PB∥平面EFG.
→→
法二：PB＝(2，0，－2)，FE＝(0，－1，0)， →
FG＝(1，1，－1)． →→→设PB＝sFE＋tFG，
即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)， t＝2，??
所以?t－s＝0，解得s＝t＝2.
??－t＝－2，
→→→所以PB＝2FE＋2FG，
→→→→→
又因为FE与FG不共线，所以PB，FE与FG共面． 因为PB2.
平面EFG，所以PB∥平面EFG.
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，
D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点． 求证：(1)DE∥平面ABC； (2)B1F⊥平面AEF. 证明：如图，
建立空间直角坐标系Axyz，
令AB＝AA1＝4，则A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4)．
→→
(1)取AB中点N，则N(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，0，2)，所以DE＝(－2，4，0)，NC＝(－2，4，0)，
→→
所以DE＝NC，所以DE∥NC. 又NC
平面ABC，DE平面ABC，故DE∥平面ABC. →→→
(2)因为B1F＝(－2，2，－4)，EF＝(2，－2，－2)，AF＝(2，2，0)，
→→
所以B1F·EF＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，
→→
所以B1F⊥EF，即B1F⊥EF.
→→
因为B1F·AF＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0，
→→
所以B1F⊥AF，即B1F⊥AF，
又AF∩FE＝F，所以B1F⊥平面AEF. 3.如图所示，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点． (1)求证：AC⊥SD.
(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由． 解：(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，则AC⊥BD.
由题意知SO⊥平面ABCD.
→→→
以O为坐标原点，OB，OC，OS分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图．
设底面边长为a，则高SO＝于是S?0，0，
6a， 2
?
6?a， 2?
D?－
?22
B?a，0，0?，C?0，a，0?，
2?2???
226→→
OC＝?0，a，0?，SD＝?－a，0，－a?，
22????2
→→
则OC·SD＝0.
故OC⊥SD.从而AC⊥SD.
(2)棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC. 理由如下：
→
由已知条件知DS是平面PAC的一个法向量， 26→
且DS＝?a，0，a?，
2??226→
CS＝?0，－a，a?，
22??
22→
BC＝?－a，a，0?.
2?2?
→→设CE＝tCS，
→→→→→则BE＝BC＋CE＝BC＋tCS 226?a，a（1－t），at，
22??2
1→→
而BE·DS＝0?t＝.
3
→→
即当SE∶EC＝2∶1时，BE⊥DS. ＝?－
而BE不在平面PAC内，
故BE∥平面PAC.
4.如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点． (1)求证：AF∥平面BCE；
(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.
证明：(1)设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
2?a，0，0，
2?
优化方案高考理科数学北师大一轮复习练习：第章 立体几何 第讲第1课时知能训练轻松闯关 含答案
