第2讲 函数的单调性与最值
1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 定义 当x1
2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； 条件 (2)存在x0∈I，使得 f(x0)＝M 结论 M为最大值
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1) (3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( ) x(4)所有的单调函数都有最值．( ) (1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得 f(x0)＝M M为最小值 自左向右看图象是下降的 (5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( ) (6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化] 1．(必修1P39B组T1改编)函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是________． 答案：[1，＋∞)(或(1，＋∞)) 2．(必修1P32T4改编)若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________． 1 解析：因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－. 21 －∞，－? 答案：?2?? 2 3．(必修1P31例4改编)已知函数f(x)＝，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________， x－1最小值为__________． 解析：可判断函数f(x)＝2＝. 5 2 答案：2 5[易错纠偏] (1)求单调区间忘记定义域导致出错； (2)利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解； (3)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念． 1．函数y＝log1(x2－4)的单调递减区间为________． 2 2 在[2，6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)x－1 答案：(2，＋∞) 2．函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1) －2≤a＋1≤2，?－3≤a≤1，??? 解析：由题意得?－2≤2a≤2，即?－1≤a≤1， ???a<1.?a＋1>2a，所以－1≤a<1. 答案：[－1，1) 3．(1)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围 是________； (2)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间为(－∞，4]，则a的值为________． 答案：(1)a≤－3 (2)－3 确定函数的单调性(区间)(高频考点) 函数单调性的判断、证明及单调区间的求法是每年高考的热点，特别是导数的引入，使函数单调性成为每年必考内容．主要命题角度有： (1)求函数的单调区间； (2)判断或证明函数的单调性． 角度一 求函数的单调区间 (2024·杭州七校联考)求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间． 2??－x＋2x＋1，x≥0，【解】 f(x)＝?2 ?－x－2x＋1，x<0，?2??－（x－1）＋2，x≥0， ＝? 2＋2，x<0.?－（x＋1）? 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)． (变条件)若将本例中函数变为f(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？ 解：函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为(1－2，1)和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2)和(1，1＋2)． 角度二 判断或证明函数的单调性 a 设函数f(x)＝x＋＋ln a为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数． x(1)求实数a的值； (2)判断函数f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性，并用定义法加以证明． a 【解】 (1)因为f(x)＝x＋＋ln a为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数， x所以f(－x)＝－f(x)， aa x＋＋ln a?，所以ln a＝0， 所以－x－＋ln a＝－??x?x所以a＝1.
2024届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章 2 第2讲 函数的单调性与最值
