数学分析简明教程答案数分5_微分中值定理及其应用

第五章 微分中值定理及其应用

第一节 微分中值定理

1.证明：(1)方程x3?3x?c?0(c为常数)在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根;(2)方程xn?px?q?0(n为正整数,p,q为实数),当n为偶数时至多有两个实根;当n为奇数时,至多有三个实根。证明：(1)设在区间[0,1]内方程x3?3x?c?0有两个实根,即有x1?x2?[0,1]使得函数 f(x)?x3?3x?c值为零。那么由罗尔定理可知存在x0?(x1,x2)?[0,1],使得f'(x0)?0. 但是f'(x)?3x2?3在(0,1)内的值域为(?3,0)是不可能有零点的,矛盾。因此有:方程x3?3x?c?0(c为常数)在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根。 (2)当n?2时,方程至多只可能有两个实根,满足所证。 当n?2k?2时,设方程xn?px?q?0有三个实根,即存在实数x1?x2?x3使得函数 f(x)?xn?px?q?0成立。那么由罗尔定理可知存在x01?(x1,x2),x02?(x2,x3),使得f'(x01)?f'(x02)?0,即n?1??f'(x01)?nx01?p?0 ?n?1f'(x)?nx?0202?p?0? 再次利用罗尔定理可以知道,存在x0?(x01,x02),使得f''(0)?0,即n?2 f''(x0)?n(n?1)x0?0,(*),显然必有x0?0,那么就有x01?0,x02?0. 那么由于n?2k为偶数,可以知道此时不存在满足(*)式的实数p.因此当n为偶数时方程至多有两个实根。 当n?2k?1?2时,设方程xn?px?q?0有三个实根,即存在实数x1?x2?x3?x4使得函数f(x)?xn?px?q?0成立。那么利用罗尔定理可知存在 x11?(x1,x2),x12?(x2,x3),x13?(x3,x4)使得f'(x11)?0,f'(x12)?0,f'(x13)?0,即有n?1?f'(x11)?nx11?p?0?n?1 ?f'(x12)?nx12?p?0,?n?1?f'(x13)?nx13?p?0 于是就存在x21?(x11,x12),x22?(x12,x13)使得f''(x21)?f''(x22)?0,即n?2??f''(x21)?n(n?1)x21?0 ?.n?2??f''(x22)?n(n?1)x22?0由于n?2k?1?2,于是此时必有x21?x22?0;但是由于x21?(x11,x12),x22?(x12,x13),可知必有x21?x22,出现了矛盾。 因此当n为奇数时,方程xn?px?q?0(n为正整数,p,q为实数)至多有三个实根。

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2.设f(x)?xm(1?x)n,m,n为正整数,x?[0,1],则存在??(0,1)使得m? ?.n1??证明：容易知道f(0)?f(1)?0,于是作为多项式函数,必有??(0,1)使得f'(?)?0,即 m?m?1(1??)n?n?m(1??)n?1?0,由于??0,1???0,因此整理可得m(1??)?n?,即有 成立,得证。3.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：m??n1??(1)sinx?siny?x?y,x,y?(??,??);证明：由拉格朗日中值定理可知函数f(t)?sint,在区间[x,y]上存在??(x,y)使得sinx?siny f'(?)?,x?y于是 sinx?siny?maxf'(t)?maxcost?1,x?y整理后即得sinx?siny?x?y.,),等号成立当且仅当x?0;22证明：由拉格朗日中值定理可知函数f(t)?tant,在区间[0,x]上存在??(0,x)使得tanx?tan0tanx f'(?)??,x?0x于是 整理后即得x?tanx. 对于函数g(x)?tanx?x,满足g(0)?0,且有g'(x)?0,当x?(?必有x?tanx成立。tanx1?minf'(t)?min?1,xcos2t(2)x?tanx,x?(????,0)(0,);即当x?0时22? 贰

(3)ex?1?x,x?0;证明：当x?0时,由拉格朗日中值定理可知函数f(t)?et在区间[0,x]上,存在??(0,x)使得f(x)?f(0)ex?1f'(?)?,即f'(?)?;于是有x?0xex?1 ?f'(?)?e??e0?1;x整理即得ex?1?x. 当x?0时,由拉格朗日中值定理可知函数f(t)?et在区间[x,0]上,存在??(0,x)使得f(0)?f(x)1?exf'(?)?,即f'(?)?;于是有0?x?x1?ex ?f'(?)?e??e0?1;?x整理即得ex?1?x. 综上有ex?1?x,x?0.(4)y?xyy?x?ln?,0?x?y;yxxf(y)?f(x),y?x证明：由拉格朗日中值定理可知函数f(t)?lnt在区间[x,y]上有??(x,y),使得 f'(?)?即有1?lny?lnx,于是有y?x?1lny?lnx1 min??max,x?t?ytx?t?yty?x1lny?lnx1故有??,整理即得yy?xxy?xyy?x ?ln?.yxx 叁