2024年数学中考圆压轴题专项训练（2024年中考：圆真题实训）（包含答案）
中考圆压轴题专项训练（2024年中考：圆真题实训）
1．（2024?鞍山）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD为对角线，∠BCA＝∠BAD，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E． （1）求证：EC＝AC．
（2）若cos∠ADB＝，BC＝10，求DE的长．
解：（1）证明：∵BC∥AE， ∴∠ACB＝∠EAC， ∵∠ACB＝∠BAD， ∴∠EAC＝∠BAD， ∴∠EAD＝∠CAB，
∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ABC＝180°， ∴∠ADE＝∠ABC，
∵∠EAD+∠ADE+∠E＝180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠E＝∠ACB＝∠EAC， ∴CE＝CA．
（2）解：设AE交⊙O于M，连接DM，作MH⊥DE于H．
∵∠EAD＝∠CAB，
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∴＝，
∴DM＝BC＝10，
∵∠MDE+∠MDC＝180°，∠MDC+∠MAC＝180°， ∴∠MDE＝∠CAM， ∵∠E＝∠CAE， ∴∠E＝∠MDE，
∴MD＝ME＝10，∵MH⊥DE， ∴EH＝DH，
∵∠ADB＝∠ACB＝∠BAD＝∠E， ∴cos∠E＝∴EH＝4， ∴DE＝2EH＝8．
2．（2024?河池）如图，⊙O的直径为AB，点C在⊙O上，点D，E分别在AB，AC的延长线上，DE⊥AE，垂足为E，∠A＝∠CDE． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AB＝4，BD＝3，求CD的长．
＝，
（1）证明：连接OC， ∵DE⊥AE， ∴∠E＝90°， ∴∠EDC+∠ECD＝90°， ∵∠A＝∠CDE， ∴∠A+∠DCE＝90°， ∵OC＝OA， ∴∠A＝∠ACO，
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∴∠ACO+∠DCE＝90°， ∴∠OCD＝90°， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵AB＝4，BD＝3， ∴OC＝OB＝AB＝2， ∴OD＝2+3＝5， ∴CD＝
＝
＝
．
3．（2024?朝阳）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，OD⊥AB，OD与AC的延长线交于点D，点E在OD上，且CE＝DE． （1）求证：直线CE是⊙O的切线； （2）若OA＝
，AC＝3，求CD的长．
（1）证明：连接OC， ∵OD⊥AB， ∴∠AOD＝90°， ∴∠D+∠A＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO，
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∵CE＝DE， ∴∠ECD＝∠D， ∵∠ACO+∠DCE＝90°， ∴∠OCE＝90°， ∴OC⊥AD，
∴直线CE是⊙O的切线； （2）解：连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠AOD＝∠ACB， ∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ADO， ∴∴
＝，
，
∴AD＝8， ∴CD＝AD﹣AC＝5．
4．（2024?安丘市）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作
DE⊥AC，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE+EA＝8，⊙O的半径为10，求△OAF的面积．
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（1）证明：∵OB＝OD， ∴∠ABC＝∠ODB， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ODB＝∠ACB， ∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，OD是半径， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°， ∴四边形ODEH是矩形， ∴OD＝EH，OH＝DE． 设AH＝x．
∵DE+AE＝8，OD＝10，
∴AE＝10﹣x，OH＝DE＝8﹣（10﹣x）＝x﹣2，
在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2＝OA2，即x2+（x﹣2）2＝102， 解得x1＝8，x2＝﹣6（不合题意，舍去）． ∴AH＝8，OH＝6， ∵OH⊥AF， ∴AH＝FH＝AF， ∴AF＝2AH＝2×8＝16
∴△OAF的面积＝×16×6＝48．
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5．（2024?营口）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AD，过点A作直线MN，使∠MAC＝∠ADC． （1）求证：直线MN是⊙O的切线．
（2）若sin∠ADC＝，AB＝8，AE＝3，求DE的长．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∵∠B＝∠D，∠MAC＝∠ADC， ∴∠B＝∠MAC， ∴∠MAC+∠CAB＝90°， ∴∠BAM＝90°， ∴AB⊥MN，
∴直线MN是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，过E作EH⊥OC于H， ∵sin∠ADC＝， ∴∠D＝30°， ∴∠B＝∠D＝30°， ∴∠AOC＝60°， ∵AB＝8，
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∴AO＝BO＝4， ∵AE＝3， ∴OE＝1，BE＝5， ∵∠EHO＝90°， ∴OH＝，EH＝∴CH＝， ∴CE＝
＝
， ，
∵弦CD与AB交于点E，
由相交弦定理得，AE?BE＝CE?DE， ∴DE＝
＝
＝
．
6．（2024?丹东）如图，直线AD经过⊙O上的点A，△ABC为⊙O的内接三角形，并且∠CAD＝∠B．
（1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠CAD＝30°，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
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解：（1）直线AD与⊙O的位置关系是相切，
理由是：作直径AE，连接CE， ∵AE为直径， ∴∠ACE＝90°， ∴∠E+∠EAC＝90°， ∵∠B＝∠DAC，∠B＝∠E， ∴∠E＝∠DAC， ∴∠EAC+∠DAC＝90°， 即OA⊥AD， ∵OA过O，
∴直线AD与⊙O的位置关系是相切；
（2）连接OC，过O作OF⊥AC于F，则∠OFA＝90， ∵∠CAD＝30°，∠DAO＝90°， ∴∠OAC＝60°， ∵OC＝OA＝1，
∴△OAC是等边三角形， ∴AC＝OA＝1，∠AOC＝60°， ∵OA＝OC，OF⊥AC， ∴AF＝FC＝，
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由勾股定理得：OF＝＝，
∴阴影部分的面积为﹣＝﹣．
7．（2024?无锡）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，点O在边AB上．过点A、D的圆的圆心O在边AB上，它与边AB交于另一点E． （1）试判断BC与圆O的位置关系，并说明理由； （2）若AC＝6，sinB＝，求AD的长．
解：（1）BC与圆O相切， 理由如下：如图，连接OD
∵OA＝OD ∴∠ODA＝∠OAD， ∵AD平分∠CAB ∴∠CAD＝∠DAO ∴∠CAD＝∠ODA ∴DO∥AC ∵AC⊥CD
∴OD⊥BC，且D在圆O上， ∴BC与圆O相切
（2）在Rt△ABC中，∵AC＝6，sinB＝，
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∴AB＝10，BC＝8 在Rt△BDO中，sinB＝＝∴30＝8DO ∴DO＝
＝AO
＝5
＝
，
∴BO＝AB﹣AO＝∴BD＝
∴CD＝BC﹣BD＝3
在Rt△ACD中，AD＝＝＝3
8．（2024?邵阳县一模）如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E． （1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．
（1）证明：如图1，连接OB， ∵AB是⊙0的切线， ∴OB⊥AB， ∵CE丄AB， ∴OB∥CE， ∴∠1＝∠3， ∵OB＝OC， ∴∠1＝∠2 ∴∠2＝∠3， ∴CB平分∠ACE；
（2）如图2，连接BD，
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∵CE丄AB， ∴∠E＝90°， ∴BC＝
＝
＝5，
∵CD是⊙O的直径， ∴∠DBC＝90°， ∴∠E＝∠DBC， ∴△DBC∽△CBE， ∴
，
∴BC2＝CD?CE， ∴CD＝∴OC＝
＝＝
， ， ．
∴⊙O的半径＝
9．（2024?鄂尔多斯）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，弦BD＝BA，EB⊥DC，交DC的延长线于点E．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当sin∠BCE＝，AB＝3时，求AD的长．
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解：（1）证明：连结OB，OD， 在△ABO和△DBO中，∴△ABO≌△DBO（SSS）， ∴∠DBO＝∠ABO， ∵∠ABO＝∠OAB＝∠BDC， ∴∠DBO＝∠BDC， ∴OB∥ED， ∵BE⊥ED， ∴EB⊥BO， ∴BE是⊙O的切线； （2）∵AC是直径， ∴∠ABC＝90°， ∵BE⊥DE， ∴∠E＝90°，
∴∠OBC+∠CBE＝∠BAC+∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝∠EBC， ∴∠ACB＝∠BCE， ∵sin∠BCE＝， ∴sin∠ACB＝， ∵AB＝3， ∴AC＝4， ∵∠BDE＝∠BAC，
，
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∴sin∠DBE＝， ∵BD＝AB＝3， ∴DE＝， ∴BE＝
＝
，
∵∠CBE＝∠BAC＝∠BDC，∠E＝∠E， ∴△BDE∽△CBE， ∴
＝
，
∴CE＝， ∴CD＝， ∴AD＝
＝
．
10．（2024?铁岭）如图，四边形ABCD中，连接AC，AC＝AD，以AC为直径的⊙O过点B，交
CD于点E，过点E作EF⊥AD于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝2，求
的长．（结果保留π）
（1）证明：设圆心为O，连接OE，AE， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠AEC＝90°， ∴∠AED＝90°，
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∵AC＝AD， ∴∠CAE＝∠DAE， ∵EF⊥AD， ∴∠AFE＝90°，
∴∠EAF+∠AEF＝∠AEF+∠DEF＝90°， ∴∠EAF＝∠DEF， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， ∴∠OEA＝∠DEF， ∴∠OEA+∠AEF＝90°， ∴∠OEF＝90°， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：连接OB， ∵∠BAC＝30°， ∴∠BOC＝60°， ∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形， ∴OB＝BC＝2， ∵∠CAD＝30°， ∴∠CAE＝
CAD＝15°，
∴∠COE＝2∠CAE＝30°， ∴∠BOE＝90°， ∴
的长＝
＝π．
11．（2024?本溪）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O，D分别为AB，BC的中点，连接
OD，作⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF＝DO，连接DF．
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2024年数学中考圆压轴题专项训练（2024年中考：圆真题实训）（包含答案）
（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）当∠A＝30°，CF＝
时，求⊙O的半径．
解：（1）结论：DF是⊙O的切线．理由：作OG⊥DF于G．连接OE．∵BD＝DC，BO＝OA， ∴OD∥AC， ∴∠ODG＝∠DFC，
∵∠OGD＝∠DCF＝90°，OD＝DF，∴△OGD≌△DCF（AAS）， ∴OG＝CD， ∵AC是⊙O的切线， ∴OE⊥AC，
∴∠AEO＝∠C＝90°， ∴OE∥BC， ∵OD∥CE，
∴四边形CDOE是平行四边形， ∴CD＝OE， ∴OG＝OE， ∴DF是⊙O的切线．
（2）∵FA，FD是⊙O的切线， ∴FG＝FE，设FG＝FE＝x， ∵△OGD≌△DCF（AAS）， ∴DG＝CF＝， ∴OD＝DF＝
+x，
∵AC＝2OD，CE＝OD，
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2024年数学中考圆压轴题专项训练（2024年中考：圆真题实训）（包含答案）
∴AE＝EC＝OD＝∵∠A＝30°， ∴CD＝OE＝
+x，
，
在Rt△DCF中，∵DF2＝CD2+CF2， ∴（
+x）2＝（
﹣
）2+（
﹣
）2， （舍弃），
解得x＝∴OE＝
或﹣
＝1．
方法二：设半径是r，則DF＝OD＝√3r，在三角形DCF中，由勾股定理得，r＝1．
12．（2024?辽阳）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OF⊥AB，交AC于点
F，点E在AB的延长线上，射线EM经过点C，且∠ACE+∠AFO＝180°．
（1）求证：EM是⊙O的切线； （2）若∠A＝∠E，BC＝
，求阴影部分的面积．（结果保留π和根号）．
解：（1）连接OC， ∵OF⊥AB， ∴∠AOF＝90°，
∴∠A+∠AFO+90°＝180°， ∵∠ACE+∠AFO＝180°， ∴∠ACE＝90°+∠A， ∵OA＝OC，
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2024年数学中考圆压轴题专项训练（2024年中考：圆真题实训）（包含答案）
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACE＝90°+∠ACO＝∠ACO+∠OCE， ∴∠OCE＝90°， ∴OC⊥CE， ∴EM是⊙O的切线； （2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝∠BCE+∠BCO＝90°， ∴∠ACO＝∠BCE， ∵∠A＝∠E，
∴∠A＝∠ACO＝∠BCE＝∠E， ∴∠ABC＝∠BCO+∠E＝2∠A， ∴∠A＝30°， ∴∠BOC＝60°， ∴△BOC是等边三角形， ∴OB＝BC＝
，
﹣×
×＝
﹣
．
∴阴影部分的面积＝
13．（2024?广元）如图1，D是⊙O的直径BC上的一点，过D作DE⊥BC交⊙O于E、N，F是⊙O上的一点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P，连结CF交PD于M，∠C＝
P．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为4，DM＝1，求PM的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，连结BF、BM；在线段DN上有一点H，并且以H、D、C为顶点的三角形与△BFM相似，求DH的长度．
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2024年数学中考圆压轴题专项训练（2024年中考：圆真题实训）（包含答案）
（1）证明：如图1中，作PH⊥FM于H．
∵PD⊥AC，
∴∠PHM＝∠CDM＝90°， ∵∠PMH＝∠DMC， ∴∠C＝∠MPH， ∵∠C＝∠FPM， ∴∠HPF＝∠HPM，
∵∠HFP+∠HPF＝90°，∠HMP+∠HPM＝90°，∴∠PFH＝∠PMH， ∵OF＝OC， ∴∠C＝∠OFC，
∵∠C+∠CDM＝∠C+∠PMF＝∠C+∠PFH＝90°，∴∠OFC+∠PFC＝90°， ∴∠OFP＝90°， ∴直线PA是⊙O的切线．
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2024年数学中考圆压轴题专项训练（2024年中考：圆真题实训）（包含答案）
（2）解：如图1中，∵∠A＝30°，∠AFO＝90°， ∴∠AOF＝60°，
∵∠AOF＝∠OFC+∠OCF，∠OFC＝∠OCF， ∴∠C＝30°，
∵⊙O的半径为4，DM＝1， ∴OA＝2OF＝8，CD＝∴OD＝OC﹣CD＝4﹣∴AD＝OA+OD＝8+4﹣在Rt△ADP中，
DM＝
， ＝12﹣
，
，
DP＝AD?tan30°＝（12﹣
∴PM＝PD﹣DM＝4
（3）如图2中，
﹣2．
）×＝4﹣1，
由（2）可知：BF＝BC＝4，FC＝∴FM＝FC﹣CM＝4
﹣2，
＝
，
BF＝4，CM＝2DM＝2，CD＝，
①当△CDH∽△BFM时，∴
＝
，
∴DH＝
②当△CDH∽△MFB时，∴
＝
，
＝，
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∴DH＝∵DN＝
，
＝
，
∴DH＜DN，符合题意， 综上所述，满足条件的DH的值为
或
．
14．（2024?济南）如图AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BP与⊙O相交于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD＝60°． （1）求∠ABD的度数； （2）若AB＝6，求PD的长度．
解：（1）方法一：如图1，连接AD． ∵BA是⊙O直径， ∴∠BDA＝90°． ∵
＝
，
∴∠BAD＝∠C＝60°．
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°．
方法二：如图2，连接DA、OD，则∠BOD＝2∠C＝2×60°＝120°． ∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣120°）＝30°． 即∠ABD＝30°．
（2）如图1，∵AP是⊙O的切线， ∴∠BAP＝90°．
在Rt△BAD中，∵∠ABD＝30°， ∴DA＝BA＝×6＝3． ∴BD＝
DA＝3．
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2024年数学中考圆压轴题专项训练（2024年中考：圆真题实训）（包含答案）
在Rt△BAP中，∵cos∠ABD＝∴cos30°＝∴BP＝4
．
﹣3
＝
＝
．
，
∴PD＝BP﹣BD＝4．
15．（2024?毕节市）如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G，且∠ABG＝2∠C． （1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若tanC＝，AC＝8，求⊙O的半径．
证明（1）如图：连接OE，BE
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2024年数学中考圆压轴题专项训练（2024年中考：圆真题实训）（包含答案）
∵∠ABG＝2∠C，∠ABG＝∠C+∠A ∴∠C＝∠A ∴BC＝AB， ∵BC是直径
∴∠CEB＝90°，且AB＝BC ∴CE＝AE，且CO＝OB ∴OE∥AB ∵GE⊥AB
∴EG⊥OE，且OE是半径 ∴EG是⊙O的切线 （2）∵AC＝8， ∴CE＝AE＝4 ∵tan∠C＝∴BE＝2 ∴BC＝∴CO＝
＝2
＝
即⊙O半径为
16．（2024?巴彦淖尔）如图，AB为⊙O的直径，C，G是⊙O上两点，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F，且BC平分∠ABD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若
＝，求∠E的度数；
，求AD的长．
（3）连结AD，在（2）的条件下，若CD＝2
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2024年数学中考圆压轴题专项训练（2024年中考：圆真题实训）（包含答案）
证明：（1）连接OC， ∵OC＝OB，BC平分∠ABD， ∴∠OCB＝∠OBC，∠OBC＝∠DBC， ∴∠DBC＝∠OCB， ∴OC∥BD， ∴∠BDC＝∠ECO， ∵CD⊥BD， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ECO＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）由（1）知，
OC∥BD，
∴∠OCF＝∠DBF，∠COF＝∠BDF， ∴△OCF∽△DBD， ∴， ∵＝，
∴
，
∵OC∥BD， ∴△EOC∽△EDB， ∴， ∴
，
设OE＝2a，EB＝3a，
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2024年数学中考圆压轴题专项训练（2024年中考：圆真题实训）（包含答案）
∴OB＝a， ∴OC＝a，
∵∠OCE＝90°，OC＝OE， ∴∠E＝30°；
（3）∵∠E＝30°，∠BDE＝90°，BC平分∠DBE， ∴∠EBD＝60°，∠OBC＝∠DBC＝30°， ∵CD＝2∴BC＝4∵
， ，BD＝6， ，
∴OC＝4， 作DM⊥AB于点M， ∴∠DBM＝90°， ∵BD＝6，∠DBM＝60°， ∴BM＝3，DM＝3∵OC＝4， ∴AB＝8， ∴AM＝5，
∵∠DMA＝90°，DM＝3∴AD＝
＝
，
．
，
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2024年数学中考圆压轴题专项训练（2024年中考：圆真题实训）（包含答案）
17．（2024?德阳）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点H是△ABC的内心，
AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交于点D，连结DB．
（1）求证：DH＝DB；
（2）过点D作BC的平行线交AC、AB的延长线分别于点E、F，已知CE＝1，圆O的直径为5．
①求证：EF为圆O的切线； ②求DF的长．
解：（1）证明：连接HB， ∵点H是△ABC的内心，
∴∠DAC＝∠DAB，∠ABH＝∠CBH， ∵∠DBC＝∠DAC，
∴∠DHB＝∠DAB+∠ABH＝∠DAC+∠CBH， ∵∠DBH＝∠DBC+∠CBH， ∴∠DHB＝∠DBH， ∴DH＝DB；
（2）①连接OD， ∵∠DOB＝2∠DAB＝∠BAC
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2024年数学中考圆压轴题专项训练（2024年中考：圆真题实训）（包含答案）
∴OD∥AC， ∵AC⊥BC，BC∥EF， ∴AC⊥EF， ∴OD⊥EF， ∵点D在⊙O上， ∴EF是⊙O的切线；
②过点D作DG⊥AB于G， ∵∠EAD＝∠DAB， ∴DE＝DG，
∵DC＝DB，∠CED＝∠DGB＝90°，∴△CDE≌△BDG， ∴GB＝CE＝1，
在Rt△ADB中，DG⊥AB， ∴∠DAB＝∠BDG， ∵∠DBG＝∠ABD， ∴△DBG∽△ABD， ∴
，
∴DB2＝AB?BG＝5×1＝5， ∴DB＝
，DG＝2，
∴ED＝2， ∵H是内心， ∴AE＝AG＝4， ∵DO∥AE， ∴△OFD∽△AFE， ∴
，
∴，
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∴DF＝．
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