§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
1.命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的,能够________的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题. 2.四种命题及其关系 (1)四种命题
命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 (2)四种命题间的逆否关系
表述形式 若p,则q
(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们有________的真假性;
②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性________关系. 3.充分条件与必要条件
(1)如果p?q,则p是q的__________,q是p的________; (2)如果p?q,q?p,则p是q的____________. [难点正本 疑点清源] 1.用集合的观点,看充要条件
设集合A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q},则有:
(1)若A?B,则p是q的充分条件,若AB,则p是q的充分不必要条件; (2)若B?A,则p是q的必要条件,若BA,则p是q的必要不充分条件; (3)若A=B,则p是q的充要条件;
(4)若A?B,且B?A,则p是q的既不充分也不必要条件. 2.从逆否命题,谈等价转换
由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而,当判断原命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假.这就是常说的“正难则反”.
1.给出命题:“若x+y=0,则x=y=0”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命
2
2
题的个数是______________________________________________________. 2.下列命题中所有真命题的序号是________. ①“a>b”是“a2>b2”的充分条件; ②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件; ③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件.
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3.“x>2”是“<”的____________条件.
x2
4.设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的________条件.
5.已知α,β的终边在第一象限,则“α>β”是“sin α>sin β”的________________条件.
题型一 四种命题的关系及真假判断
例1 以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号).
①“若log2a>0,则函数f(x)=logax (a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题; ②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”; ③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题; ④命题“若a∈M,则b?M”与命题“若b∈M,则a?M”等价.
探究提高 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键;(2)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假;(3)认真仔细读题,必要时举特例.
有下列四个命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题. 其中真命题的序号为________.
题型二 充分、必要、充要条件的概念与判断
例2 指出下列命题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)在△ABC中,p:∠A=∠B,q:sin A=sin B; (2)对于实数x、y,p:x+y≠8,q:x≠2或y≠6; (3)非空集合A、B中,p:x∈A∪B,q:x∈B;
(4)已知x、y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0, q:(x-1)(y-2)=0.
探究提高 判断p是q的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件p能否推得条件q;二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题.
给出下列命题:
①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan+1}为等比数列”的充分不必要条件; ②“a=2”是“函数f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函数”的充要条件;
③“m=3”是“直线(m+3)x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直”的充要条件; ④设a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=3,则A=30°是B=60°的必要不充分条件. 其中真命题的序号是________. .题型三 充要条件的证明
例3 求证:关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是a≤1. 探究提高 (1)条件已知证明结论成立是充分性,结论已知推出条件成立是必要性. (2)证明分为两个环节,一是充分性;二是必要性.证明时,不要认为它是推理过程的“双向书写”,而应该进行由条件到结论,由结论到条件的两次证明.
(3)证明时易出现必要性与充分性混淆的情形,这就要分清哪是条件,哪是结论.
已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0,且p≠1),求证:数列{an}为等比
数列的充要条件为q=-1.
1.等价转化思想在充要条件
关系中的应用
x-1?
试题:(14分)已知p:?1-≤2,q:x2-2x+1-m2≤0 (m>0),且綈p是綈q的必要而
3??不充分条件,求实数m的取值范围.
审题视角 (1)先求出两命题的解集,即将命题化为最简.
(2)再利用命题间的关系列出关于m的不等式或不等式组,得出结论. 规范解答
解 方法一 由q:x2-2x+1-m2≤0, 得1-m≤x≤1+m,
[2分]
∴綈q:A={x|x>1+m或x<1-m,m>0},
?x-1?
由?1-?≤2,解得-2≤x≤10,
3??
∴綈p:B={x|x>10或x<-2}. ∵綈p是綈q的必要而不充分条件.
[6分] [8分]
∴A
m>0,??
B,即?1-m<-2,
??1+m≥10,
m>0,
??
或?1-m≤-2,??1+m>10,
即m≥9或m>9即m≥9.
[14分] [2分] [5分]
方法二 ∵綈p是綈q的必要而不充分条件, ∴p是q的充分而不必要条件, ∴q:Q={x|1-m≤x≤1+m},
由q:x2-2x+1-m2≤0,得1-m≤x≤1+m,
?x-1?
由?1-?≤2,解得-2≤x≤10,
3??
∴p:P={x|-2≤x≤10}. ∵p是q的充分而不必要条件,
m>0,
??
Q,即?1-m<-2,
??1+m≥10,
[8分]
∴P
m>0,
??
或?1-m≤-2,??1+m>10,
即m≥9或m>9即m≥9. [14分]
批阅笔记 本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏的 问题化归为简单、熟悉的问题来解决.一般地,在涉及字母参数的取值范围的充要关系 问题中,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是破解此类问题的关键.
方法与技巧
1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时,必须保留大前提,也就是大前提不动;对于由多个并列条件组成的命题,在写其它三种命题时,应把其中一个(或n个)作为大前提.
2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命题与定理是有区别的;命题有真假之分,而定理都是真的. 3.命题的充要关系的判断方法
(1)定义法:直接判断若p则q、若q则p的真假.
(2)等价法:利用A?B与綈B?綈A,B?A与綈A?綈B,A?B与綈B?綈A的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.
(3)利用集合间的包含关系判断:若A?B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件. 失误与防范
1.否命题是既否定命题的条件,又否定命题的结论,而命题的否定是只否定命题的结论.要注意区别.
2.判断p与q之间的关系时,要注意p与q之间关系的方向性,充分条件与必要条件方向正好相反,不要混淆.
江苏高考数学一轮复习教案课时训练答案第一章 第2课时
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