§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的，能够________的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题
命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 (2)四种命题间的逆否关系
表述形式 若p，则q
(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性________关系． 3．充分条件与必要条件
(1)如果p?q，则p是q的__________，q是p的________； (2)如果p?q，q?p，则p是q的____________． [难点正本 疑点清源] 1．用集合的观点，看充要条件
设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：
(1)若A?B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件； (2)若B?A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若A?B，且B?A，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．从逆否命题，谈等价转换
由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．这就是常说的“正难则反”．
1．给出命题：“若x＋y＝0，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命
2
2
题的个数是______________________________________________________． 2．下列命题中所有真命题的序号是________． ①“a>b”是“a2>b2”的充分条件； ②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件； ③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件．
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3．“x>2”是“<”的____________条件．
x2
4．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的________条件．
5．已知α，β的终边在第一象限，则“α>β”是“sin α>sin β”的________________条件.
题型一 四种命题的关系及真假判断
例1 以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．
①“若log2a>0，则函数f(x)＝logax (a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”； ③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若a∈M，则b?M”与命题“若b∈M，则a?M”等价．
探究提高 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例．
有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题． 其中真命题的序号为________．
题型二 充分、必要、充要条件的概念与判断
例2 指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)． (1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B； (2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6； (3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；
(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0， q：(x－1)(y－2)＝0.
探究提高 判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．
给出下列命题：
①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件； ②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；
③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，则A＝30°是B＝60°的必要不充分条件． 其中真命题的序号是________． ．题型三 充要条件的证明
例3 求证：关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1. 探究提高 (1)条件已知证明结论成立是充分性，结论已知推出条件成立是必要性． (2)证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性．证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明．
(3)证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论．
已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，且p≠1)，求证：数列{an}为等比
数列的充要条件为q＝－1.
1.等价转化思想在充要条件
关系中的应用
x－1?
试题：(14分)已知p：?1－≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0 (m>0)，且綈p是綈q的必要而
3??不充分条件，求实数m的取值范围．
审题视角 (1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简．
(2)再利用命题间的关系列出关于m的不等式或不等式组，得出结论． 规范解答
解 方法一 由q：x2－2x＋1－m2≤0， 得1－m≤x≤1＋m，
[2分]
∴綈q：A＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}，
?x－1?
由?1－?≤2，解得－2≤x≤10，
3??
∴綈p：B＝{x|x>10或x<－2}． ∵綈p是綈q的必要而不充分条件．
[6分] [8分]
∴A
m>0，??
B，即?1－m＜－2，
??1＋m≥10，
m＞0，
??
或?1－m≤－2，??1＋m＞10，
即m≥9或m＞9即m≥9.
[14分] [2分] [5分]
方法二 ∵綈p是綈q的必要而不充分条件， ∴p是q的充分而不必要条件， ∴q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，
由q：x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m，
?x－1?
由?1－?≤2，解得－2≤x≤10，
3??
∴p：P＝{x|－2≤x≤10}． ∵p是q的充分而不必要条件，
m>0，
??
Q，即?1－m<－2，
??1＋m≥10，
[8分]
∴P
m＞0，
??
或?1－m≤－2，??1＋m＞10，
即m≥9或m＞9即m≥9. [14分]
批阅笔记 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的 问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系 问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键.
方法与技巧
1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或n个)作为大前提．
2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的． 3．命题的充要关系的判断方法
(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．
(2)等价法：利用A?B与綈B?綈A，B?A与綈A?綈B，A?B与綈B?綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件． 失误与防范
1．否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定是只否定命题的结论．要注意区别．
2．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．
江苏高考数学一轮复习教案课时训练答案第一章 第2课时
