江苏省扬州中学2024—2024学年度第二学期期中考试高一数学答案 1．A 2．C 3．D 4．B 5．C 6．D 7．C 8． D 9．C 10．A 11．A 12．B 13．2 14．30° 15．43298 16． 9517．解：（1）由??x?2y?4?0?x?0得：?， ?P?0,2?；
?3x?y?2?0?y?2（2）Q直线x?y?3?0斜率为1，?直线l斜率k??1.
?l:y?2??1?x?0?，即：x?y?2?0.
18．解：（1）f?x??2sin?x???????5??，则当x?[0,?]时，x??[?,]，6?666?1?sin(x?)?[?,1]，2sin(x?)?[?1,2]，所以函数f(x)的值域为[?1,2]．
626（2）f???????10512?π???2sin??，即sin??，α??0,?，故cos??； 6?131313?2?sin2??2sin?cos??2?512120??． 131316919．解：（1）取CD的中点I
∵E、F、I分别是正方形ABCD中AB、BC、CD的中点 ∴CF∥EI
∴在平面ABCD中，延长EF与DC必交于C右侧一点P，且PC?CI 同理，在平面CC1D1D中，延长HG与DC必交于C右侧一点Q，且QC?CI ∴P与Q重合
进而，直线EF与GH相交
方法二：∵在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、H分别是AB、C1D1的中点 ∴EB∥CD∥HC1
1212
∴EBC1H是平行四边形 ∴EH∥BC1
又∵F、G分别是BC、CC1的中点 ∴FG∥BC1
∴EH∥FG，EH?FG
∴EF、GH是梯形EFGH的两腰 ∴直线EF与GH相交
（2）解：∵在正方体ABCD?A1B1C1D1中，AA∥ 1CC1∴ACC1A1是平行四边形 ∴AC//A1C1
又∵E、F分别是AB、BC的中点 ∴EF//AC ∴EFPAC11
∴A1D与EF所成的角即为A1D与A1C1所成的角
（或：A1D与EF所成的角即为?DAC11及其补角中的较小角）① 又∵在正方体ABCD?A1B1C1D1中，?AC11D为等边三角形 ∴?DAC11?60?②
∴由①②得直线A1D与EF所成的角为60? 20．（1）在VCAM中，已知?CAM?12?3，sin?CMA?3，AC?2，由正弦定理，3得
CMAC3??，解得CM?sin?CMAsin?CAMsin?CMAAC?sin?2?32?3． 33
（2）因为S△BMN?11?11S△ACB，所以?BM?BN?sin???2?23，解得22622BM?BN?43．
在?BMN中，由余弦定理得，
MN2?BM2?BN2?2BM?BNcos??3?2??BM?BN??2BM?BN??1????， 62??3??， 2?即(7)??BM?BN??2?43??1?22???BM?BN?2?19?83?4?3，
??2故BM?BN?4?3．
21．（1）由题意知OM?111AD?BC??2?1， 22232，
?MN?OMsin?MOD?CD?OMsin?MOD?AB?1?sin30o?1?
BN?OA?OMcos?MOD?1?1?cos30o?1?32?3， ?22?S?PMN?1132?36?33，即三角形铁皮PMN的面积为MN?BN????222286?33； 8（2）（2）设?MOD?x，则0?x??，因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，所以只需考察0?x??2。
MN?OMsinx?CD?sinx?1， BN?OMcosx?OA?cosx?1，
?S?PMN?111MN?BN??sinx?1???cosx?1???sinxcosx?sinx?cosx?1?222令t?sinx?cosx??????3??2sin?x??，由于0?x?，所以?x??，
42444??则有
2????sin?x???1，所以1?t?2， 24??2且t??sinx?cosx?2t2?1， ?1?2sinxcosx，所以sinxcosx?2故S?PMN?11?t2?112???t?1???t2?2t?1???t?1?， 2?24?4121,2?上单调递增， ?t?1?在区间???414而函数y?故当t?
2时，y取最大值，即ymax??2?1??23?22， 4
即剪下的铁皮三角形PMN的面积的最大值为3?22． 43)， x22．解：（Ⅰ）由题意可设圆M的圆心为(x,则半径为x2?3322x?3时取等号）（当且仅当， ?2x??2322xx所以圆M的面积最小值为23?． （Ⅱ）由|OC|?|OD|，知OM?l．
所以kOM?3t2?3，解得t??1．
3x?4的距离d?2(3?1)小于半3当t?1时，圆心M(1,3)到直线l:y??径，符合题意；
当t??1时，圆心M(?1,?3)到直线l:y??半径，不符合题意．
3x?4的距离d?2(3?1)大于322所以，所求圆M的方程为(x?1)?(y?3)?4．
（Ⅲ）设P(5,y0)，G(x1,y1)，H(x2,y2)，又知E(?1,3)，F(3,3)， 所以kPE?y0?3y1?3y?3y2?3??kGE，kPF?0??kFH． 6x1?12x2?3因为3kPE(y1?3)2(y2?3)2?kPF，所以9?． ?(x1?1)2(x2?3)22222将(y1?3)?4?(x1?1)，(y2?3)?4?(x2?1)代入上式，
整理得2x1x2?7(x1?x2)?20?0． ①
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