2006-2007学年 第2学期
2005级《离散数学2》期末考试试题（A卷）
考试时间：2007年6月
班级 学号 姓名 ? 请将答案写在答题纸上，写明题号，不必抄题，字迹工整、清晰；
? 请在答题纸和试题纸上都写上你的班级，学号和姓名，交卷时请将试题纸、答题纸和草纸
一并交上来。
一． 综合体（30分，每题3分） 1. 求（1 3 5）（2 5 4）（3 4）
2. 只有两个生成元的循环群一定是有限循环群吗？并说明理由。 3. 有限循环群中是否一定存在周期与群的元数相等的元素？ 4. 下面哪个是域GF（16）的真子域
(A)GF(6);(B)GF(4);(C)GF(8);(D)GF(16)
5. 有限布尔代数的元素个数必定是如下哪个形式？ (A)2n;(B)n2 ;(C)2n;(D)4n.
6.下列代数系统（S，*）中，哪个是群？ （A）S={0,1,3,5},*是模7的乘法；（B）S是有理数集合，*运算是普通乘法； （C）S是整数集合，*是普通乘法；（D）S={1,3,4,9},*是模11的乘法。 7.设A={0,1,2,3,4},运算为模5加法，请给出A的所有子群。 8.n元恒等置换是奇置换还是偶置换？对换呢？ 9．请给出一个有余，但不是分配格的例子。
10.设R是模12的整数环，R={0,1,2,…,11},下面哪一个是极大理想： （A）6R; (B)2R; (C)4R; (D)8R 二． 计算题（25分，每题5分） 1. 计算分圆多项式Φ24(x).
2. 设（Z,+）为整数加法群，(C*,?? )为非零复数的乘法群，令 f: n→in ,是Z到C*中的同态映射，请求出f的同态核。 3. 在R5上求出x+2除2x5+4x3+3x2+1所得的商式和余式。
4. 设G是3次对称群，H是由I和（13）作成的子群，求H得所有右陪集。 5. 设A={0,1,2,3,4,5},运算为模6加法，请给出A中所有元素的周期。 三．（10分）证明或者反驳：f(x)=3x5+5x2+1 四．（10分）设（G，*）是群，（A，*）和（B，*)是它的两个子群，C={a*b|a∈A, b∈B}.
证明：若*满足交换律，则（C，*）也是(G，*）的子群。 五．（10分）设Z是整数集合，X={(a,b)|a,b∈Z},定义X 上的二元运算⊕和⊙ 如下：对任意（a1b1）,(a2,b2)∈X,有：
（a1b1）⊕(a2,b2)= （a1+a2,b1+b2）, （a1b1）⊙(a2,b2)= （a1×a2,b1×b2）， 其中，+，×分别是整数加法与乘法。 证明：（X，⊕，⊙）是环，如果此环有零因子请给出它们
六．（10分）设（L，×，+）是一个格，其等价的半序格（L,≦）,S是L的非空子集，如果（1）任意a, b∈S,有a+b∈S;(2)任意a ∈S,任意x∈L,若x≦a,则x∈S;则称（S，×，+）是（L，×,+）的理想。求格（{1,2,3,6},D ）的所有子格和所有理想，其中D为整除关系。 七．（ 5分）设（G，*）是n元有限群，e为单位元，a1,a2,…,an是G的任意n个元素，不一定两两不同。试证：存在正整数p和q，1≦p≦q≦n,使得ap*ap+1*…*aq=e.
吉林大学离散数学试卷
