不等式的证明方法
不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。
a2?b2a?b注意a?b?2ab的变式应用。常用 (其中a,b?R?)来解决有?2222关根式不等式的问题。
一、比较法
比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c均为正数，求证：
111111????? 2a2b2ca?bb?cc?a二、综合法
综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。
2、a、b、c?(0,??)，a?b?c?1，求证：
4a2?b2?c2?4413
3、设a、b、c是互不相等的正数，求证：a?b?c?abc(a?b?c) 4、 知a,b,c?R，求证:
a2?b?2b2?c?2c2?a?2(a?b?c)
211(1?)(1?)?9xy5、x、y?(0,??)且x?y?1，证：。
6、已知a,b?R,a?b?1求证：?1????1??1?1??1???. a??b?9三、分析法
分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。
7、已知a、b、c为正数，求证：
2(a?ba?b?c3?ab)?3(?abc)23
8、a、b、c?(0,??)且a?b?c?1，求证a?b?c?3。
四、换元法
换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。 9、
b?1，求证：
ab?(1?a2)(1?b2)?1。
22x?y?1，求证：?2?x?y?2 10、
114??. a?bb?ca?c1222212、已知1≤x＋y≤2，求证：≤x－xy＋y≤3．
211、已知a>b>c,求证：
13、已知x－2xy＋y≤2，求证：| x＋y |≤10． 14、解不等式5?x?221x?1＞
2215、－1≤1?x－x≤2．
五、增量代换法
在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简．
16、已知a，b?R，且a＋b = 1，求证：(a＋2)＋(b＋2)≥六、利用“1”的代换型
2225． 2111已知a,b,c?R?,且 a?b?c?1,求证： ???9.abc17、
七、反证法
反证法的思路是“假设?矛盾?肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。
18、若p＞0，q＞0，p＋q= 2，求证：p＋q≤2．证明：反证法
33119、已知a、b、c?（0，1），求证：(1?a)b，(1?b)c，(1?c)a，不能均大于4。
20、已知a,b,c∈（0，1），求证：（1－a）b, （1－b）c, （1－c）a 不能同时大于
1。 421、a、b、c?R，a?b?c?0，ab?bc?ca?0，a?b?c?0，求证：a、b、c均为正数。 八、放缩法
放缩时常用的方法有：1去或加上一些项2分子或分母放大（或缩小）3用函数单调性放缩4用已知不等式放缩
22、已知a、b、c、d都是正数，求证：1＜＜2．
bdac＋＋＋
a?b?cb?c?dc?d?ad?a?b23、
n?N，求证：
*2(n?1?1)?1?12?13???1n?2n?1。
24、A、B、C为?ABC的内角，x、y、z为任意实数，求证：
x2?y2?z2?2yzcosA?2xzcosB?2xycosC。
证
九、构造函数法
构造函数法证明不等式24 设0≤a、b、c≤2，求证：4a＋b＋c＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．
25、 设a、b∈R，且a＋b =1，求证：(a＋2)＋(b＋2)≥
?222225． 226、设a＞0，b＞0，a＋b = 1，求证：2a?1＋2b?1≤22． 1．实数绝对值的定义:
|a|= 这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。
2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。 若a>0时，则 |x|a x<-a或x>a。
注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。 3．常用的同解变形 |f(x)| 4．三角形不等式: ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。
不等式的证明方法经典例题
