?a4?a1q3?1???2???8．
3
?x?1,x≤0,1f(x)?15．设函数则满足f(x)?f(x?)?1的x的取值范围是________． ?x2?2,x?0,?1?【答案】??,???
?4??x?1,x≤01?1???【解析】f?x???x，f?x??f?x???1，即f?x???1?f?x?
2?2????2 ,x?01??由图象变换可画出y?f?x??与y?1?f?x?的图象如下：
2?? y1y?f(x?)211(?,)441?2
12x y?1?f(x)1???1?由图可知，满足f?x???1?f?x?的解为??,???.
2???4?
16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与
a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60?角时，AB与b成30?角； ②当直线AB与a成60?角时，AB与b成60?角； ③直线AB与a所成角的最小值为45?； ④直线AB与a所成角的最大值为60?．
其中正确的是________（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③
【解析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图．
不妨设图中所示正方体边长为1， 故|AC|?1，AB?2，
斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变， B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．
以C为坐标原点，以CD为x轴正方向，CB为y轴正方向， CA为z轴正方向建立空间直角坐标系． 则D(1,0,0)，A(0,0,1)，
直线a的方向单位向量a?(0,1,0)，|a|?1． B点起始坐标为(0,1,0)，
直线b的方向单位向量b?(1,0,0)，|b|?1． 设B点在运动过程中的坐标B?(cos?,sin?,0)， 其中?为B?C与CD的夹角，??[0,2π)．
那么AB'在运动过程中的向量AB??(?cos?,?sin?,1)，|AB?|?2．
π设AB?与a所成夹角为??[0,]，
26
则cos??(?cos?,?sin?,1)?(0,1,0)aAB??22|sin?|?[0,]． 22ππ故??[,]，所以③正确，④错误．
42π设AB?与b所成夹角为??[0,]，
2AB??bcos??bAB???(?cos?,sin?,1)?(1,0,0).
bAB?2|cos?|2π， 3
?12． sin??2cos??2cos?2?32222∵cos??sin??1，
当AB?与a夹角为60?时，即??
2． 221∴cos??|cos?|?．
22π∵??[0,]．
2π∴?=，此时AB?与b夹角为60?．
3∴②正确，①错误．
∴|cos?|?
三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选
考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分． 17．（12分）
B，C的对边分别为a，b，c， ?ABC的内角A，已知sinA?3cosA?0，a?27，b?2．
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD?AC，求△ABD的面积．
π??【解析】（1）由sinA?3cosA?0得2sin?A???0，
3??π即A??kπ?k?Z?，又A??0,π?，
3π2π. ∴A??π，得A?331由余弦定理a2?b2?c2?2bc?cosA.又∵a?27,b?2,cosA??代入并整理
22得?c?1??25，故c?4.
（2）∵AC?2,BC?27,AB?4，
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a2?b2?c227. 由余弦定理cosC??2ab7∵AC?AD，即△ACD为直角三角形， 则AC?CD?cosC，得CD?7. 由勾股定理AD?又A?CD?AC?3. 22S△ABD2π2πππ??， ，则?DAB?33261π?AD?AB?sin?3. 26
18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每
瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500
25?，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量瓶；如果最高气温位于区间?20，为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 15? 20? 25? ?25，30? 35? 40? ?15，?20，?30，?35，最高气温 ?10，2 16 36 25 7 4 天数 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 【解析】⑴易知需求量x可取200,300,500
2?161P?X?200???
30?35362P?X?300???
30?3525?7?42P?X?500???.
30?35 则分布列为： X P 200 300 500
122 555⑵①当n≤200时：Y?n?6?4??2n，此时Ymax?400，当n?200时取到.
41200?2??n?200????2??②当200?n≤300时：Y??2n??? 55?8800?2n6n?800?n?? 555 此时Ymax?520，当n?300时取到. ③当300?n≤500时，
122Y??200?2?n?200??2?300?2?n?300??2???? ?????????5??5?n?2 5?3200?2n?
5 此时Y?520.
④当n≥500时，易知Y一定小于③的情况. 综上所述：当n?300时，Y取到最大值为520.
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19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角
形．?ABD?CBD，AB=BD．
D（1）证明：平面ACD^平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分．求二EC面角D-AE-C的余弦值．
B
DA【解析】⑴取AC中点为O，连接BO，DO； ?ABC为等边三角形 ∴BO?AC EC∴AB?BC
?AB?BC?O??ABD??CBD. ?BD?BD??ABD??DBC?∴AD?CD,即?ACD为等腰直角三角形，?ADC A为直角又O为底边AC中点 ∴DO?AC
令AB?a，则AB?AC?BC?BD?a 23a，OB?a 22222∴OD?OB?BD
B易得：OD?由勾股定理的逆定理可得?DOB??2
即OD?OB ?OD?AC?OD?OB???ACOB?O?OD?平面ABC ?AC?平面ABC???OB?平面ABC又∵OD?平面ADC
由面面垂直的判定定理可得平面ADC?平面ABC ⑵由题意可知VD?ACE?VB?ACE 即B,D到平面ACE的距离相等 即E为BD中点
以O为原点，OA为x轴正方向，OB为y轴正方向，OD为z轴正方向，设AC?a，建立空间直角坐标系，
z DCOEBAxy???33a?a??a??B0,a,0E0,a,?O0,0,0A,0,0D0,0,?，??则?，??，??，????? 24422?????????a3a??aa??a??,a,AD??,0,OA?,0,0?易得：AE??，，???? ?24?4222??????设平面AED的法向量为n1，平面AEC的法向量为n2，
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??AE?n1?0则?，解得n1?3,1,3
AD?n?0??1??AE?n2?0，解得n2?0,1,?3 ???OA?n2?0若二面角D?AE?C为?，易知?为锐角，
????则cos??n1?n2n1?n2?7 7
20．（12分）已知抛物线C:y2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以
线段AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．
【解析】⑴显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．
设l:x?my?2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
?y2?2x联立：?得y2?2my?4?0，
?x?my?2??4m2?16恒大于0，y1?y2?2m，y1y2??4． uuruuurOA?OB?x1x2?y1y2
?(my1?2)(my2?2)
?(m2?1)y1y2?2m(y1?y2)?4
??4(m2?1)?2m(2m)?4?0 uuruuur∴OA?OB，即O在圆M上．
uuuruur⑵若圆M过点P，则AP?BP?0 (x1?4)(x2?4)?(y1?2)(y2?2)?0 (my1?2)(my2?2)?(y1?2)(y2?2)?0
(m2?1)y1y2?(2m?2)(y1?y2)?8?0
1化简得2m2?m?1?0解得m??或1
21①当m??时，l:2x?y?4?0圆心为Q(x0,y0)，
2y?y2119y0?1??，x0??y0?2?，
2224?9??1?半径r?|OQ|??????? ?4??2?921285则圆M:(x?)?(y?)?
4216②当m?1时，l:x?y?2?0圆心为Q(x0,y0)，
y?y2y0?1?1，x0?y0?2?3，
2半径r?|OQ|?32?12 则圆M:(x?3)2?(y?1)2?10
21．（12分）已知函数f(x)?x?1?alnx．
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2017高考全国3卷理科数学试题及答案
