机械工程测试技术基础习题解答
第一章 信号的分类与描述
1-1 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|cn|–ω和φn–ω图，并与表1-1对比。
x(A … 0 -A 图1-4 周期方波信号波 解答：在一个周期的表达式为
T0??A (??t?0)??2. x(t)??T? A (0?t?0)??2… t
积分区间取（-T/2，T/2） 所以复指数函数形式的傅里叶级数为
x(t)?n????cne?jn?0t??j1(1?cosn?)ejn?0t，n=0, ?1, ?2, ?3, ??n???nA?。
没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。
|cn2A/2A/| 2A/3π π 2A/32A/52A/5φn πω0 3ω-ω/2 -5-30 -π π ω ω0 ω0 0 -5-ωω0 3ω0 π5ωπ -3幅频相频π
ω0 ω0 0 0
周期方波复指数函数形式
图 /图2
频谱图 1-2 求正弦信号x(t)?x0sinωt的绝对均值μx和均方根值xrms。
2x1T1T解答：μx??0x(t)dt??0x0sinωtdt?0TTT5ω
ω0
?T20T2x04x02x02?sinωtdt??cosωt0?
TωTωπ 1-3 求指数函数x(t)?Ae?at(a?0,t?0)的频谱。 解答：
|X(f)| A/φ(fπ/2 ) 0 -πf 0 f 单边指数衰减信号频谱图 π/
/2
1-4 求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频谱。
sgn(t) 1 0 -1 a)符号函数
u(t) 1 t 0 t b)阶跃函数
图1-25 题1-4图
a)符号函数的频谱
t=0处可不予定义，或规定sgn(0)=0。
该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。 可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数x(t)的频谱。
x1(t) 1 |X(f)| 0 -x1(t)?e?atsgn(t)符号函数
φ(fπt 0 f 0 /2 ) -π/2 f 符号函数频谱
b)阶跃函数频谱
在跳变点t=0处函数值未定义，或规定u(0)=1/2。
阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。
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