16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 七、双曲线的常用结论：
1、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2、PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）
x0xy0yx2y2?2?1. ??15、若P在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是(x,y)P0000222ababx2y26、若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦
abP1P2的直线方程是
x0xy0y?2?1. a2bx2y27、双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点?F1PF2??，则双曲
ab线的焦点角形的面积为S?F1PF2?bcot2?2.
x2y28、双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(?c,0) , F2(c,0)）当M(x0,y0)在右支上时，
ab|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a；当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a。
9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
b2x0x2y211、AB是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则KOM?KAB?2，
abay0即KABb2x0?2。 ay0x0xy0yx02y02x2y2在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是2?2?2?2.
ababab12、若P(0,y0)0xx2y2x2y2x0xy0y?2. 13、若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2?2?2ababab【推论】：
x2y21、双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时
abx2y2A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2?2?1.
abx2y22、过双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，
ab则直线BC有定向且kBCb2x0??2（常数）.
ay0x2y23、若P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2??,
ab?PF2F1??，则
c?a??c?a???tancot（或?tancot）. c?a22c?a22x2y24、设双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2
ab中，记?F1PF2??, ?PF1F2??,?F1F2P??，则有
sin?c??e.
?(sin??sin?)ax2y25、若双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤2?1时，可在双
ab曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
x2y26、P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则
ab|AF2|?2a?|PA|?|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.
x2y2222227、双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是Aa?Bb?C.
abx2y28、已知双曲线2?2?1（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP?OQ.
ab4a2b2a2b2111122
???;（2）|OP|+|OQ|的最小值为2（1）;（3）S?OPQ的最小值是2.
b?a2b?a2|OP|2|OQ|2a2b2x2y29、过双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交
ab
x轴于P，则
|PF|e?.
|MN|2x2y210、已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),
aba2?b2a2?b2则x0?或x0??.
aax2y211、设P点是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??，则
ab?2b22(1)|PF1||PF2|?.(2) S?PF1F2?bcot.
21?cos?x2y212、设A、B是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，?PAB??,
ab2ab2|cos?|?PBA??,?BPA??，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|PA|?22.
|a?ccos2?|(2) tan?tan??1?e.(3) S?PAB22a2b2?2cot?. 2b?ax2y213、已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相
ab交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 八、抛物线的常用结论：
4ac?b2b?). ①ay?by?c?x顶点(4a2a2②y2?2px(p?0)则焦点半径PF?x?P;x2?2py(p?0)则焦点半径为PF?y?P.
22③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
?x?2pt2?x?2pt④y?2px（或x?2py）的参数方程为?（或?）（t为参数）. 2y?2pty?2pt??22 y2?2px ▲y2??2px ▲x2?2py x2??2py yy▲y▲y图形 OxxOxOxO p,0) 2 p,0) 2p) 2 p) 2 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 焦点 F(F(?F(0,F(0,?y?p 2x?0,y?R x??p 2x?0,y?R x?p 2x?R,y?0 y??p 2x?R,y?0 x轴 y轴 （0,0） e?1 PF?p?x1 2PF?p?x1 2PF?p?y1 2PF?p?y1 2圆锥曲线的性质对比
圆锥曲线 标准方程 范围 对称性 顶点 焦点 椭圆 (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 a>b>0 x∈[-a,a] y∈[-b,b] 关于x轴,y轴,原点对称 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (c,0),(-c,0) 【其中c^2=a^2-b^2】 双曲线 (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 a>0,b>0 x∈(-∞,-a]∪[a,+∞) y∈R 关于x轴,y轴,原点对称 (a,0),(-a,0) (c,0),(-c,0) 【其中c^2=a^2+b^2】 x=±(a^2)/c 抛物线 y^2=2px p>0 x∈[0,+∞) y∈R 关于x轴对称 (0,0) (p/2,0) 准线 x=±(a^2)/c x=-p/2
渐近线 离心率 焦半径 —————————— e=c/a,e∈(0,1) ∣PF1∣=a+ex ∣PF2∣=a-ex y=±(b/a)x e=c/a,e∈(1,+∞) ∣PF1∣=∣ex+a∣∣PF2∣=∣ex-a∣ p=(b^2)/c (2b^2)/a x=a·secθ y=b·tanθ,θ为参数 (x0x/a^2)-(y0·y/b^2)=1 ————— e=1 ∣PF∣=x+p/2 焦准距 通径 参数方程 p=(b^2)/c (2b^2)/a x=a·cosθ y=b·sinθ，θ为参数 p 2p x=2pt^2 y=2pt,t为参数 过圆锥曲线上一点 (x0·x/a^2)+(y0·y/b^2)=1 (x0,y0)的切线方程 y=kx±√[(a^2)·(k^2)+b^2] y0·y=p(x+x0) 斜率为k的切线方程
y=kx±√[(a^2)·(k^2)-b^2] y=kx+p/2k
完美版圆锥曲线知识点总结
