方 标准 方程 程 x2y2??1(a?b>0) a2b2x2y2??1(a>0,b>0) a2b2y2?2px 参数方程 ?x?acos??y?bsin? ?(参数?为离心角）?x?asec??y?btan? ?(参数?为离心角）?x?2pt2?y?2pt(t为参数) ?范围 中心 ─a?x?a，─b?y?b 原点O（0，0） (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x轴，y轴； 长轴长2a,短轴长2b |x| ? a，y?R 原点O（0，0） x?0 顶点 (a,0), (─a,0) x轴，y轴; 实轴长2a, 虚轴长2b. (0,0) 对称轴 x轴 焦点 F1(c,0), F2(─c,0) F1(c,0), F2(─c,0) pF(,0) 2p 2准 线 a2x=± c准线垂直于长轴，且在椭圆外. a2x=± c准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧. 2c （c=a2?b2） x=-准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等. 焦距 2c （c=a2?b2） 离心率 【备注1】双曲线： e?c(0?e?1) ae?c(e?1) ae=1 ⑶等轴双曲线：双曲线x2?y2??a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y??x，离心率e?2.
x2y2⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2?2??与
abx2y2x2y2????互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：2?2?0.
aba2b2⑸共渐近线的双曲线系方程：
x2a2?y2b2??(??0)的渐近线方程为
x2a2?y2b2?0如果双曲线的渐近线为
xy??0时，ab
它的双曲线方程可设为【备注2】抛物线：
x2a2?y2b2??(??0).
pp,0)，准线方程x=- ，开口向右；抛物线y2=-2px(p>0)的焦点坐22pppp2标是(-,0)，准线方程x=，开口向左；抛物线x=2py(p>0)的焦点坐标是(0,)，准线方程y=- ，开
2222（1）抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是(口向上；
pp），准线方程y=，开口向下. 22p（2）抛物线y2=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MF?x0?；抛物线y2=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)
2p与焦点F的距离MF??x0
2pp2（3）设抛物线的标准方程为y=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点到准线的距离，焦点
22抛物线x=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-2到准线的距离为p.
（4）已知过抛物线y=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，
22pp2p2xx?,AF?x?则弦长AB=x1?x2+p或AB?(α为直线AB的倾斜角)，，(AFyy??p12112sin2?42叫做焦半径). 五、坐标的变换：
（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.
（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。
（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是（x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x,y).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则 叫做平移(或移轴)公式.
（4）中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：
方 程 焦 点 (±c+h,k) 焦 线 对称轴 x=h y=k x=h y=k ''x?x'?hy?y'?k或
x'?x?hy'?y?k
(x-h)2(y-k)2+=1 22ab椭圆 a2x=±+h ca2y=±+k c(x-h)2(y-k)2+ =1 22ba(h,±c+k)
(x-h)2(y-k)2-=1 22ab双曲线 (±c+h,k) a2x=±+k ca2y=±+k cx=-x=h y=k x=h y=k (y-k)2(x-h)2-=1 22ab(y-k)=2p(x-h) 2(h,±c+h) (p+h,k) 2p+h,k) 2p+k) 2p+k) 2p+h 2y=k (y-k)=-2p(x-h) 抛物线 (x-h)=2p(y-k) 22(-x=p+h 2p+k 2y=k (h, y=-x=h (x-h)=-2p(y-k) 2(h,- y=p+k 2x=h 六、椭圆的常用结论： 1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
x0xy0yx2y2?2?1. ??15. 若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000a2ba2b2x2y26. 若P0作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是0(x0,y0)在椭圆2?2?1外，则过Pabx0xy0y?2?1. a2bx2y27. 椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则椭圆的焦点
ab角形的面积为S?F1PF2?btan2?2.
x2y28. 椭圆2?2?1（a＞b＞0）的焦半径公式
ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) ,F2(c,0)M(x0,y0)).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
x2y2b211. AB是椭圆2?2?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kOM?kAB??2，即
abaKABb2x0??2。
ay0x0xy0yx02y02x2y2?2?2?2； 12. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则被Po所平分的中点弦的方程是2ababab【推论】：
x2y2x2y2x0xy0yx2y2?2。椭圆2?2?11、若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2?2?2abababab（a＞b＞o）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程
x2y2是2?2?1. abx2y22、过椭圆2?2?1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直
ab线BC有定向且kBCb2x0?2（常数）. ay0x2y23、若P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2??, ?PF2F1??，
ab则
a?c???tancot. a?c22x2y24、设椭圆2?2?1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记
ab?F1PF2??, ?PF1F2??,?F1F2P??，则有
sin?c??e.
sin??sin?ax2y25、若椭圆2?2?1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤2?1时，可在椭圆上
ab求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
x2y26、P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则
ab
2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.
(x?x0)2(y?y0)2??1与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是7、椭圆22abA2a2?B2b2?(Ax0?By0?C)2.
x2y28、已知椭圆2?2?1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP?OQ.（1）
ab4a2b2a2b2111122
???;（2）|OP|+|OQ|的最大值为22;（3）S?OPQ的最小值是22.
a?ba?b|OP|2|OQ|2a2b2x2y29、过椭圆2?2?1（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，
ab则
|PF|e?.
|MN|2x2y210、已知椭圆2?2?1（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),
aba2?b2a2?b2?x0?则?. aax2y211、设P点是椭圆2?2?1（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??，则
ab?2b22(1)|PF1||PF2|?.(2) S?PF1F2?btan.
21?cos?x2y212、设A、B是椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，?PAB??,
ab2ab2|cos?|?PBA??,?BPA??，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|?22.(2) 2a?ccos?tan?tan??1?e.(3) S?PAB22a2b2?2cot?. 2b?ax2y213、已知椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、
abB两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
完美版圆锥曲线知识点总结
