【2021高考数学理科苏教版课时精品练】第四节 三角函数的图象与性质
π
1．(2011年南京调研)将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再
10
把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是______________．
ππ
解析：函数y＝sinx的图象上的点向右平行移动个单位长度可得函数y＝sin(x－)的
1010
1π
图象；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y＝sin(x－)的图象，所以所求函
210
1π
数的解析式是y＝sin(x－)．
2101π
答案：y＝sin(x－)
210
π
2．函数y＝1－sin2(x＋)的最小正周期是________．
3
2π
1－cos?2x＋?
3π
解析：y＝1－sin2(x＋)＝1－
32
12π12π＝cos(2x＋)＋，∴T＝＝π. 2322答案：π
3．(2010年高考江西卷改编)函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为________．
15
解析：令t＝sinx，则y＝t2＋t－1＝(t＋)2－，
24
5
t∈[－1,1]，∴y∈[－，1]．
4
5
答案：[－，1]
4
4．函数f(x)＝2cos2x－3sin2x(x∈R)的最小正周期和最大值分别为________．
π
解析： 由题可知，f(x)＝2cos2x－3sin2x＝cos2x－3sin2x＋1＝2sin(－2x)＋1，所以
6函数f(x)的最小正周期为T＝π，最大值为3.
答案：π，3
π
5. 已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，
2
则ω＝________，φ＝________.
解析： 由图象知T＝π，∴ω＝2.∴y＝sin(2x＋φ)．
π
又由于y＝sin(2x＋φ)的图象过点(，1)，
3
2π2ππ
∴sin(＋φ)＝1.∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
332
π
∴φ＝2kπ－(k∈Z)．
6ππ∵|φ|<，∴φ＝－.
26
π
答案：2 －
6
ππππ
6．(2011年徐州调研)已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)，若f()＝f()，且f(x)在区间(，
3626π
)内有最大值，无最小值，则ω＝________. 2
ππππππππππ
解析：f()＝f()得ω＋＝ω＋＋2kπ(k∈Z)．或(ω＋)＋(ω＋)＝2kπ＋π(k∈Z)，可
6223632363
1ππ
以得到ω＝6k或ω＝＋3k，又因为f(x)在区间(，)内有最大值无最小值，结合图象(图略)
262
ππT2π2π2π1得－<，得T>?>?0<ω<3，所以ω＝. 2623ω32
1答案： 2
7．给出下列四个命题：
πkπ3π
①f(x)＝sin(2x－)的对称轴为x＝＋，k∈Z；②函数f(x)＝sinx＋3cosx的最大值为
428
πππ
2；③函数f(x)＝sinxcosx－1的周期为2π；④函数f(x)＝sin(x＋)在[－，]上是增函数，其
422
中正确命题的个数是________．
ππ
解析：①由2x－＝kπ＋(k∈Z)，
42
kπ3π
得x＝＋(k∈Z)，
28
πkπ3π
即f(x)＝sin(2x－)的对称轴为x＝＋，k∈Z，正确；
428
π
②由f(x)＝sinx＋3cosx＝2sin(x＋)知，函数的最大值为2，正确；
3
1
③f(x)＝sinxcosx－1＝sin2x－1，函数的周期为π，故③错误；
2ππ
④函数f(x)＝sin(x＋)的图象是由f(x)＝sinx的图象向左平移个单位得到的，故④错误．
44
答案：2
8．如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数为“互为生成”函数．给出下列四个函数：
①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝2(sinx＋cosx)； ③f(x)＝sinx；④f(x)＝2sinx＋2.
其中为“互为生成”函数的是________．
ππ
解析：首先化简题中的四个解析式可得：①f(x)＝2sin(x＋)；②f(x)＝2sin(x＋)；③f(x)
44＝sinx；④f(x)＝2sinx＋2，可知③f(x)＝sinx的图象要与其他的函数图象重合，单纯经过平移不能完成，必须经过伸缩变换才能实现，所以③f(x)＝sinx不能与其他函数成为“互为
ππ
生成”函数，同理①f(x)＝2sin(x＋)的图象与②f(x)＝2sin(x＋)的图象也必须经过伸缩变换
44
π
才能重合，而④f(x)＝2sinx＋2的图象向左平移个单位长度，再向下平移2个单位长度
4
π
即可得到①f(x)＝2sin(x＋)的图象，所以①④为“互为生成”函数．
4
答案：①④
9．已知函数f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的单调增区间．
解：(1)f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx ＝2cos2x－1＋2sinxcosx＋1 ＝cos2x＋sin2x＋1
π
＝2sin(2x＋)＋1.
4
2π
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
2
πππ
(2)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
2423ππ
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
88
3ππ
∴f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
88
π
10．(2011年苏州质检)已知向量a＝(sin(x＋)，sinx)，b＝(cosx，－sinx)，函数f(x)＝m·(a·b
2
＋3sin2x)(m>0)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
π
(2)将函数f(x)的图象的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的两倍，然后再向右平移个
6
单位长度得到g(x)的图象，试探讨：当x∈[0，π]时，函数g(x)与y＝1的图象的交点个数．
π
解：(1)∵a·b＝sin(x＋)cosx－sinxsinx
2
＝cos2x－sin2x＝cos2x， ∴f(x)＝m·(cos2x＋3sin2x)
π
＝2msin(2x＋)．∴T＝π.
6
π
(2)将函数f(x)＝2msin(2x＋)的图象的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的两倍，得
6
ππ
函数y＝2msin(x＋)的图象，然后再向右平移个单位长度得到g(x)＝2msinx的图象，即g(x)
66＝2msinx.
∵m>0，∴当x∈[0，π]时，函数g(x)＝2msinx≤2m， 111
则当m>时，函数g(x)与直线y＝1的图象有2个交点；m＝时，有1个交点；0 222没有交点． ππππ 11．(探究选做)已知向量a＝(4cos(x＋)，sinx)，b＝(sin(x＋)，sinx)，定义函数f(x) 168168 ＝a·b＋cos2x. (1)求f(x)的最小正周期，在所给的坐标系中作出函数y＝f(x)，x∈[－2,14]的图象(不要求写出作图过程)； (2)若f(a)＝2，且14≤a≤18，求tan(aπ)的值． 解：(1)∵a·b ππππ ＝4cos(x＋)·sin(x＋)＋sin2x 168168ππ ＝2sin(x＋)＋sin2x， 84 ππ ∴f(x)＝2sin(x＋)＋sin2x＋cos2x 84
18 三角函数的图像及性质
