【2021高考数学理科苏教版课时精品练】第四节 三角函数的图象与性质
π
1.(2011年南京调研)将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度,再
10
把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是______________.
ππ
解析:函数y=sinx的图象上的点向右平行移动个单位长度可得函数y=sin(x-)的
1010
1π
图象;横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y=sin(x-)的图象,所以所求函
210
1π
数的解析式是y=sin(x-).
2101π
答案:y=sin(x-)
210
π
2.函数y=1-sin2(x+)的最小正周期是________.
3
2π
1-cos?2x+?
3π
解析:y=1-sin2(x+)=1-
32
12π12π=cos(2x+)+,∴T==π. 2322答案:π
3.(2010年高考江西卷改编)函数y=sin2x+sinx-1的值域为________.
15
解析:令t=sinx,则y=t2+t-1=(t+)2-,
24
5
t∈[-1,1],∴y∈[-,1].
4
5
答案:[-,1]
4
4.函数f(x)=2cos2x-3sin2x(x∈R)的最小正周期和最大值分别为________.
π
解析: 由题可知,f(x)=2cos2x-3sin2x=cos2x-3sin2x+1=2sin(-2x)+1,所以
6函数f(x)的最小正周期为T=π,最大值为3.
答案:π,3
π
5. 已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,
2
则ω=________,φ=________.
解析: 由图象知T=π,∴ω=2.∴y=sin(2x+φ).
π
又由于y=sin(2x+φ)的图象过点(,1),
3
2π2ππ
∴sin(+φ)=1.∴+φ=2kπ+(k∈Z),
332
π
∴φ=2kπ-(k∈Z).
6ππ∵|φ|<,∴φ=-.
26
π
答案:2 -
6
ππππ
6.(2011年徐州调研)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0),若f()=f(),且f(x)在区间(,
3626π
)内有最大值,无最小值,则ω=________. 2
ππππππππππ
解析:f()=f()得ω+=ω++2kπ(k∈Z).或(ω+)+(ω+)=2kπ+π(k∈Z),可
6223632363
1ππ
以得到ω=6k或ω=+3k,又因为f(x)在区间(,)内有最大值无最小值,结合图象(图略)
262
ππT2π2π2π1得-<,得T>?>?0<ω<3,所以ω=. 2623ω32
1答案: 2
7.给出下列四个命题:
πkπ3π
①f(x)=sin(2x-)的对称轴为x=+,k∈Z;②函数f(x)=sinx+3cosx的最大值为
428
πππ
2;③函数f(x)=sinxcosx-1的周期为2π;④函数f(x)=sin(x+)在[-,]上是增函数,其
422
中正确命题的个数是________.
ππ
解析:①由2x-=kπ+(k∈Z),
42
kπ3π
得x=+(k∈Z),
28
πkπ3π
即f(x)=sin(2x-)的对称轴为x=+,k∈Z,正确;
428
π
②由f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+)知,函数的最大值为2,正确;
3
1
③f(x)=sinxcosx-1=sin2x-1,函数的周期为π,故③错误;
2ππ
④函数f(x)=sin(x+)的图象是由f(x)=sinx的图象向左平移个单位得到的,故④错误.
44
答案:2
8.如果两个函数的图象平移后能够重合,那么称这两个函数为“互为生成”函数.给出下列四个函数:
①f(x)=sinx+cosx;②f(x)=2(sinx+cosx); ③f(x)=sinx;④f(x)=2sinx+2.
其中为“互为生成”函数的是________.
ππ
解析:首先化简题中的四个解析式可得:①f(x)=2sin(x+);②f(x)=2sin(x+);③f(x)
44=sinx;④f(x)=2sinx+2,可知③f(x)=sinx的图象要与其他的函数图象重合,单纯经过平移不能完成,必须经过伸缩变换才能实现,所以③f(x)=sinx不能与其他函数成为“互为
ππ
生成”函数,同理①f(x)=2sin(x+)的图象与②f(x)=2sin(x+)的图象也必须经过伸缩变换
44
π
才能重合,而④f(x)=2sinx+2的图象向左平移个单位长度,再向下平移2个单位长度
4
π
即可得到①f(x)=2sin(x+)的图象,所以①④为“互为生成”函数.
4
答案:①④
9.已知函数f(x)=2cos2x+2sinxcosx. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)的单调增区间.
解:(1)f(x)=2cos2x+2sinxcosx =2cos2x-1+2sinxcosx+1 =cos2x+sin2x+1
π
=2sin(2x+)+1.
4
2π
∴f(x)的最小正周期T==π.
2
πππ
(2)令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
2423ππ
解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
88
3ππ
∴f(x)的单调增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).
88
π
10.(2011年苏州质检)已知向量a=(sin(x+),sinx),b=(cosx,-sinx),函数f(x)=m·(a·b
2
+3sin2x)(m>0).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
π
(2)将函数f(x)的图象的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的两倍,然后再向右平移个
6
单位长度得到g(x)的图象,试探讨:当x∈[0,π]时,函数g(x)与y=1的图象的交点个数.
π
解:(1)∵a·b=sin(x+)cosx-sinxsinx
2
=cos2x-sin2x=cos2x, ∴f(x)=m·(cos2x+3sin2x)
π
=2msin(2x+).∴T=π.
6
π
(2)将函数f(x)=2msin(2x+)的图象的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的两倍,得
6
ππ
函数y=2msin(x+)的图象,然后再向右平移个单位长度得到g(x)=2msinx的图象,即g(x)
66=2msinx.
∵m>0,∴当x∈[0,π]时,函数g(x)=2msinx≤2m, 111
则当m>时,函数g(x)与直线y=1的图象有2个交点;m=时,有1个交点;0 222没有交点. ππππ 11.(探究选做)已知向量a=(4cos(x+),sinx),b=(sin(x+),sinx),定义函数f(x) 168168 =a·b+cos2x. (1)求f(x)的最小正周期,在所给的坐标系中作出函数y=f(x),x∈[-2,14]的图象(不要求写出作图过程); (2)若f(a)=2,且14≤a≤18,求tan(aπ)的值. 解:(1)∵a·b ππππ =4cos(x+)·sin(x+)+sin2x 168168ππ =2sin(x+)+sin2x, 84 ππ ∴f(x)=2sin(x+)+sin2x+cos2x 84
18 三角函数的图像及性质
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)