九年级上册 二次函数中考真题汇编[解析版]
一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）
21．如图，抛物线y?x??a?1?x?a与x轴交于A,B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴的负半轴交于点C．
?1?求点B的坐标．
?2?若ABC的面积为6．
①求这条抛物线相应的函数解析式．
②在拋物线上是否存在一点P,使得?POB??CBO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2【答案】（1）（1，0）；（2）①y?x?2x?3；②存在，点P的坐标为
?1?133?313???5?3715?337?,????2,?或???． 222????【解析】 【分析】
（1）直接令y?0，即可求出点B的坐标；
（2）①令x=0，求出点C坐标为（0，a），再由△ABC的面积得到a的值，即可得到解析式；
②当点P在x轴上方时，直线OP的函数表达式为y=3x，则直线与抛物线的交点为P；当点P在x轴下方时，直线OP的函数表达式为y=-3x，则直线与抛物线的交点为P；分别求出点P的坐标即可． 【详解】
解：?1?当y?0时，x??a?1?x?a?0,
21(1?a)?(?a)＝6即可求2解得x1?1,x2?a.
点A位于点B的左侧，与y轴的负半轴交于点C,
?a?0,
?点B坐标为?1,0?．
?2?①由?1?可得，点A的坐标为?a,0?，点C的坐标为?0,a?,a?0,
?AB?1?a,OC??a
ABC的面积为6,
?1?1?a??(?a)?6, 2a?0,
?a1??3,a2?4．
?a??3
y?x2?2x?3.
②点B的坐标为?1,0?,点C的坐标为?0,?3?， ?设直线BC的解析式为y?kx?3,
则0?k?3,
?k?3．
?POB??CBO,
?当点P在x轴上方时，直线OP//直线BC, ?直线OP的函数解析式y?3x,为
则??y?3x, 2y?x?2x?3,???1?131?13?x1??x2???22??(舍去)，? ?y?3?313?y?3?31312??22???1?133?313??点的P坐标为???2,?； 2??当点P在x轴下方时，直线OP'与直线OP关于x轴对称， 则直线OP'的函数解析式为y??3x,
?y??3x,则? 2y?x?2x?3,????5?37?5?37x?x??1?2??22??(舍去)，? ?y?15?337?y?15?33712??22??
??5?3715?337??点P'的坐标为?,??? 22???1?133?313???5?3715?337?,综上可得，点P的坐标为?或????2,??? 222????【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，结合数形结合的思想和分类讨论的思想解题是解本题的关键．
?x2?2ax?a2?2(x?0)?2．已知函数y??12（a为常数）． 12??x?ax?a?4(x?0)2?2（1）若点?1,2?在此函数图象上，求a的值． （2）当a??1时，
①求此函数图象与x轴的交点的横坐标．
②若此函数图象与直线y?m有三个交点，求m的取值范围．
（3）已知矩形ABCD的四个顶点分别为点A??2,0?，点B?3,0?，点C?3,2?，点
D??2,2?，若此函数图象与矩形ABCD无交点，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）a?1或a??3；（2）①x??1?2或x?1?22；②
7?m?4或2?2?m??1；（3）a??3?22或?2?a??1或a?22 【解析】 【分析】
（1）本题根据点(1,2)横坐标大于零，故将点代入对应解析式即可求得a的取值． （2）①本题将a??1代入解析式，分别令两个函数解析式y值为零即可求得函数与x轴交点横坐标；②本题可求得分段函数具体解析式，继而求得顶点坐标，最后平移直线
y?m观察其与图像交点，即可得到答案．
（3）本题可根据对称轴所在的位置分三种情况讨论，第一种为当a??2，将
11y?x2?2ax?a2?2函数值与2比大小，将y??x2?ax?a2?4与0比大小；第二
22种为当?2?a?0，y?x?2ax?a?2函数值与0比大小，且该函数与y轴的交点和0比大小，y??22121x?ax?a2?4函数值与2比大小，且该函数与y轴交点与2比大2222小；第三种为y?x?2ax?a?2与y轴交点与2比大小，y??y轴交点与0比大小． 【详解】
121x?ax?a2?4与22
（1）将?1,2?代入y??12111x?ax?a2?4中，得2???a?a2?4，解得a?1或2222a??3．
?x2?2x?1,?（2）当a??1时，函数为y??127?x?x??2?2(x?0)(x?0)，
①令x2?2x?1?0，解得x??1?2或x??1?2．（不合题意，舍去） 令?127x?x??0，解得x?1?22或x?1?22．（不合题意，舍去） 222综上，x??1?2或x?1?22．
②对于函数y?x?2x?1?x?0?，其图象开口向上，顶点为??1,?2?； 对于函数y??127x?x?(x?0)，其图象开口向下，顶点为?1,4?，与y轴交于点22?7??0,?． ?2?综上，若此函数图象与直线y?m有三个交点，则需满足
22（3）y?x?2ax?a?2对称轴为x?a；y??227?m?4或?2?m??1． 2121x?ax?a2?4对称轴为x??a． 22①当a??2时，若使得y?x?2ax?a?2图像与矩形ABCD无交点，需满足当x??2时，y?x?2ax?a?2?4+4a?a2?2?2，解不等式得a?0或a上若使y??224，在此基础
121x?ax?a2?4图像与矩形ABCD无交点，需满足当x?3时，221111y??x2?ax?a2?4???9?3a?a2?4?0，
2222解得a?22?3或a??3?22， 综上可得：a??3?22．
②当?2?a?0时，若使得y?x?2ax?a?2图像与矩形ABCD无交点，需满足
22x??2时，y?x2?2ax?a2?2?4+4a?a2?2?0；当x?0时，
y?x2?2ax?a2?2=a2?2?0；得?2?a?2?2，
在此基础上若使y??121x?ax?a2?4图像与矩形ABCD无交点，需满足x?0时，22111y??x2?ax?a2?4=4?a2?2；x?3时，
2221111y??x2?ax?a2?4???9?3a?a2?4?2；
2222求得?2?a??1；
综上：?2?a??1．
③当a?0时，若使函数图像与矩形ABCD无交点，需满足x?0时，
111y?x2?2ax?a2?2=a2?2?2且y??x2?ax?a2?4??a2+4?0；
222求解上述不等式并可得公共解集为：a?22．
综上：若使得函数与矩形ABCD无交点，则a??3?22或?2?a??1或a?22． 【点睛】
本题考查二次函数综合，求解函数解析式常用待定系数法，函数含参数讨论时，往往需要分类讨论，分类讨论时需要先选取特殊情况以用来总结规律，继而将规律一般化求解题目．
3．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴，y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+2x+b经过点B．
（1）该抛物线的函数解析式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M'． ①写出点M'的坐标；
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l'，当直线l′与直线AM'重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l'与线段BM'交于点C，设点B，M'到直线l'的距离分别为d1，d2，当d1+d2最大时，求直线l'旋转的角度（即∠BAC的度数）．
251?5?25 ，【答案】（1）y??x?2x?3；（2）S???m???；（3）
82?2?822①M???57?,?；②45° 2?4?【解析】 【分析】
（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出b的值．
（2）设M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），然后根据面积关系将△ABM的面积进行转化．
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