高中物理竞赛——摩擦角及其它
一、摩擦角
1、全反力：接触面给物体的摩擦力与支持力的合力称全反力，一般用 R 表 示，亦称接触反力。
2、摩擦角：全反力与支持力的最大夹角称摩擦角，一般用φ 表示。
m
此时，要么物体已经滑动，必有：φ = arctgμ（μ为动摩擦因素），称
m
动摩擦力角；要么物体达到最大运动趋势，必有：φ = arctgμ （μ 为静摩
ms s s
擦因素），称静摩擦角。通常处理为φ = φ 。
m ms
3、引入全反力和摩擦角的意义：使分析处理物体受力时更方便、更简捷。 二、隔离法与整体法
1、隔离法：当物体对象有两个或两个以上时，有必要各个击破，逐个讲每 个个体隔离开来分析处理，称隔离法。
在处理各隔离方程之间的联系时，应注意相互作用力的大小和方向关系。 2、整体法：当各个体均处于平衡状态时，我们可以不顾个体的差异而讲多 个对象看成一个整体进行分析处理，称整体法。
应用整体法时应注意“系统”、“内力”和“外力”的涵义。 三、应用
1、物体放在水平面上，用与水平方向成 30°的力拉物体时，物体匀速前进。 若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进，求物体与水平面 之间的动摩擦因素μ。
解说：这是一个能显示摩擦角解题优越性的题目。可以通过不同解法的比较 让学生留下深刻印象。
法一，正交分解。（学生分析受力→列 方程→得结果。）
法二，用摩擦角解题。
引进全反力 R ，对物体两个平衡状态进 行受力分析，再进行矢量平移，得到图 18 中的左图和中间图（注意：重力 G 是不变的， 而全反力 R 的方向不变、F 的大小不变）， φ 指摩擦角。
m
再将两图重叠成图 18 的右图。由于灰 色的三角形是一个顶角为 30°的等腰三角 形，其顶角的角平分线必垂直底边……故 有：φ = 15°。
m
最后，μ= tgφ 。
m
答案：0.268 。
（学生活动）思考：如果 F 的大小是可以选择的，那么能维持物体匀速前进 的最小 F 值是多少？
解：见图 18，右图中虚线的长度即 F ，所以，F min = Gsinφ 。
min m
答：Gsin15°（其中 G 为物体的重量）。
2、如图 19 所示，质量 m = 5kg 的物体置于一粗糙斜面上，并用一平行斜面 的、大小 F = 30N 的推力推物体，使物体能够沿斜面向上匀速运动，而斜面体始
终静止。已知斜面的质量 M = 10kg ，倾角为 30°，重力加速度 g = 10m/s2 ， 求地面对斜面体的摩擦力大小。
解说：本题旨在显示整体法的解题 的优越性。
法一，隔离法。简要介绍……
法二，整体法。注意，滑块和斜面 随有相对运动，但从平衡的角度看，它 们是完全等价的，可以看成一个整体。
做整体的受力分析时，内力不加考 虑。受力分析比较简单，列水平方向平 衡方程很容易解地面摩擦力。
答案：26.0N 。
（学生活动）地面给斜面体的支持力是多少？ 解：略。
答：135N 。
应用：如图 20 所示，一上表面粗糙的斜面体上放在光滑的水平地面上，斜 面的倾角为θ。另一质量为 m 的滑块恰好能沿斜面匀速下滑。若用一推力 F 作用 在滑块上，使之能沿斜面匀速上滑，且要求斜面体静止不动，就必须施加一个大 小为 P = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于 斜面体。使满足题意的这个 F 的大小和方 向。
解说：这是一道难度较大的静力学题， 可以动用一切可能的工具解题。
法一：隔离法。
由第一个物理情景易得，斜面于滑块的 摩擦因素μ= tgθ
对第二个物理情景，分别隔离滑块和斜面体分析受力，并将 F 沿斜面、垂直 斜面分解成 F 和 F ，滑块与斜面之间的两对相互作用力只用两个字母表示（N
x y
表示正压力和弹力，f 表示摩擦力），如图 21 所示。
对滑块，我们可以考查沿斜面方向和 垂直斜面方向的平衡——
F = f + mgsinθ x
F + mgcosθ= N y
且 f = μN = Ntgθ 综合以上三式得到： F= F tg θ + 2mgsin θ x y
①
对斜面体，只看水平方向平衡就行了 ——
P = fcosθ+ Nsinθ
即：4mgsinθcosθ=μNcosθ+ Nsin θ
代入μ值，化简得：F = mgcosθ ②
y
②代入①可得：F = 3mgsinθ
x
最后由 F = F 2 ? F 2 解 F 的大小，由 tgα=
x
y
F F
y
解 F 的方向（设α为 F 和斜
x
面的夹角）。
1
答案：大小为 F = mg 1 ? 8sin 2 ? ，方向和斜面夹角α= arctg( ctg? )指向
3
斜面内部。
法二：引入摩擦角和整体法观念。
仍然沿用“法一”中关于 F 的方向设置（见图 21 中的α角）。
先 看 整 体 的 水 平 方 向 平 衡 ， 有 ： Fcos( θ - α ) = P ⑴
再隔离滑块，分析受力时引进全反力 R 和摩擦角φ，由于简化后只有三个力 （R、mg 和 F），可以将矢量平移后构成一个三角形，如图 22 所示。
F mg mg
在图 22 右边的矢量三角形中，有： = =
sin(? ? ?) sin?90? ? (? ? ?)? cos(? ? ?)
⑵
注 意 ： φ = arctg μ = arctg(tg θ ) = θ
⑶
解⑴⑵⑶式可得 F 和α的值。
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