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第二章 泛函极值及变分法（补充内容）
2.1 变分的基本概念
2.1.1 泛函和变分
泛函是一种广义的函数，是指对于某一类函数{y(x)}中的每一个函数y(x)，变量J有一值与之对应，或者说数J对应于函数y(x)的关系成立，则我们称变量J是函数y(x)的泛函，记为J[y(x)]。
例1：如果表示两固定端点A(xA，yA)，B(xB，yB)间的曲线长度J（图2.1.1），则由微积分相关知识容易得到：
J??xBxA（2.1.1） 1?(dy/dx)2dx
显然，对于不同的曲线y(x)，对应于不同的长度J，即J是函数y(x)的函数，J=J[y(x)]。
图2.1.1 两点间任一曲线的长度
例2：历史上著名的变分问题之一——最速降线问题，如果2.1.2所示。设在不同铅垂线上的两点P1与P2连接成某一曲线，质点P在重力作用下沿曲线由点P1自由滑落到点P2，这里不考虑摩擦作用影响，希望得到质点沿什么样的曲线滑落所需时间最短。
图2.1.2 最速降线问题
选取一个表示曲线的函数y(x)，设质点从P1到P2沿曲线y=y(x)运动，则其运动速度为：
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1?y?2dsv??dx
dtdt其中，S表示曲线的弧长，t表示时间，于是：
1?y?2dt?dx
v设重力加速度为g，则v?2gy。
因为P1和P2点的横坐标分别为x1到x2，那么质点从P1到P2所用时间便为：
J[y(x)]??x21?y?22g[y(x1)?y(x)x1dx
1/2??x2x1?1?[y?(x)]2???2g[y(x)?y(x)]1?? dx （2.1.2）
则最速降线问题对应于泛函J[y(x)]取最小值。 回顾函数的微分：
对于函数的微分有两种定义： 一种是通常的定义，即函数的增量：
?y?y(x??x)?y(x)?A(x)?x??(x,?x) （2.1.3）其中A（x）与?x无关，且有?x→0时ρ（x,?x）→0，于是就称函数y(x)是可微的，其
线性部分称为函数的微分dy?A(x)?x?y?(x)?x，函数的微分就是函数增量的主部。
函数微分的另外一种定义：
通过引入一小参数ε，对y(x???x)关于ε求导数，并令ε→0的途径得到，即：
dy(x???x)d???0?y?(x???x)?x??0?y?(x)?x?dy
（2.1.4）
上式说明y(x???x)在ε=0处关于ε的导数就是函数y(x)在x处的微分。相应地，在泛函J[y(x)]中，变量函数y(x)的增量在其很小时称为变分，用δy(x)或δy表示，
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指y(x)与它相接近的y1(x)的差，即：?y(x)?y(x)?y1(x)。
泛函的变分也有类似的两个定义：
对于函数y(x)的变分δy(x)所引起的泛函的增量为?J?J[y(x)??y(x)]?J[y(x)]，当
?y(x)?0时泛函增量的线性主部就称为泛函J在函数y(x)处的变分，记为δJ，即：
?J??J[y(x)??y(x)]?J[y(x)]??y?0?L[y(x),?y(x)] （2.1.5）
其中L[y(x),δy(x)]是泛函增量的线性主部，而且其对于变分δy(x)是线性的。 另一种定义：
拉格朗日的泛函变分定义为：
泛函变分是J[y(x)???y(x)]对?的导数在?=0时的值，即：
?J?? J[y(x)???y(x)]??0?L[y(x),?y(x)] （2.1.6）
??首先，我们进行泛函：
J?J[y(x)]?的变分。
?x2x1 F(x,y(x),y?(x))dx （2.1.7）
此泛函的增量可以用Taylor展式表示为：
?J???F?x,y(x)??y(x),y?(x)??y?(x)??F?x,y(x),y?(x)???dx x1?x2??x2x1??F1??2F?2F?2F??F22?????y??y?(?y)??y?y?(?y)??2??L2????y?y2?y?y?y?(y)???????dx ?? （2.1.8）
当?y?0，上式积分中的前两项是增量的线性主部，后面的项为高阶无穷小量。 根据变分的定义，该泛函的变分为：
?J??x2x1??F??F????y??y ??y?dx （2.1.9）??y??（2.1.9）也称为泛函J的一阶变分，而（2.1.8）式的后三项为二阶变分，记作δ2J，即：
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