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【答案】
【解析】根据圆周角定理可得∠AED＝∠ABC，然后求出tan∠ABC的值即可． 由图可得，∠AED＝∠ABC，∵⊙O在边长为1的网格格点上， ∴AB＝2，AC＝1，则tan∠ABC＝
＝，∴tan∠AED＝．故答案为：．
15．如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，半小时后甲船到达C点，乙船正好到达甲船正西方向的B点，则乙船的路程是_ （结果保留根号） 【答案】10
【解析】本题可以求出甲船行进的距离AC，根据三角函数就可以求出AB，即可求出乙船的路程． 由已知可得：AC＝60×0.5＝30海里，又∵甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°，∴∠BAC＝90°，
又∵乙船正好到达甲船正西方向的B点，∴∠C＝30°，∴AB＝AC?tan30°＝30×故答案为：10
海里．
＝10
海里．
16．如图，已知A1，A2，A3，…An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，分别过点A1，
A2，A3，…An作x轴的垂线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…Bn，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，
△BnPnBn+1的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+Sn＝ ．
【答案】
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【解析】∵OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，
∴设B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn），
∵B1，B2，B3…Bn在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴y1＝1，y2＝，y3＝…yn＝， ∴S1＝×1×（y1﹣y2）＝×1×（1﹣）＝（1﹣）； S2＝×1×（y2﹣y3）＝×（﹣）； S3＝×1×（y3﹣y4）＝×（﹣）； …
Sn＝（﹣
），
）＝
．
∴S1+S2+S3+…+Sn＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣故答案为：
．
三、解答题（本大题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分8分）计算：2＋tan45°﹣|2﹣
－1
|＋÷．
【解析】分别根据特殊角的三角函数值、绝对值的性质及负整数指数幂的计算法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
解：原式＝+1﹣（3﹣2）+3
＝﹣1+ ＝2．
18．（本小题满分8分）先化简，再求值：（
﹣
）
，其中x＝
．
÷2
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．解：（
﹣
）
＝
＝＝
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＝＝，
当x＝时，原式＝．
19．（本小题满分8分）如图，AB、AD是⊙O的弦，△ABC是等腰直角三角形，△ADC≌△AEB，请仅用无刻度直尺作图： （1）在图1中作出圆心O； （2）在图2中过点B作BF∥AC．
【解析】（1）画出⊙O的两条直径BK，DE，交点即为圆心O．
（2）作直线AO交⊙O于F，直线直线BF，直线BF即为所求． 解：（1）设AC交⊙O于K，连接BK，DE，BK交DE于点O，点O即为所求．
（2）如图2中，作直线AO交⊙O于F，直线直线BF，直线BF即为所求．
20．（本小题满分8分）某校为了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生做调查，把收集的数据分为4类情形：A表示仅学生参与：B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参与；D表示家长和学生都未参与，现绘制如下不完整的统计图．
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请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）根据抽样调查的结果，估计该校1000名学生中“家长和学生都未参与”的人数． 【解析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以样本中D类别人数所占比例．
解：（1）在这次抽样调查中，调查的总人数为80÷20%＝400（人）；
（2）估计该校1000名学生中“家长和学生都未参与”的人数为1000×
＝50（人）．
21．（本小题满分8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，连接BE并延长至点F，使得EF＝EB，连接DF交AC于点G，连接CF． （1）求证：四边形DBCF是平行四边形； （2）若∠A＝30°，BC＝4，CF＝6，求CD的长．
【解析】（1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；
（2）由平行四边形的性质可得CF∥AB，DF∥BC，可得∠FCG＝∠A＝30°，∠CGF＝∠CGD＝∠ACB＝90°，由直角三角形的性质可得FG，CG，GD的长，由勾股定理可求CD的长． 证明：（1）∵点E为CD中点，∴CE＝DE．∵EF＝BE，∴四边形DBCF是平行四边形．
（2）∵四边形DBCF是平行四边形，∴CF∥AB，DF∥BC．
∴∠FCG＝∠A＝30°，∠CGF＝∠CGD＝∠ACB＝90°． 在Rt△FCG中，CF＝6，∴
，
．
＝2
∵DF＝BC＝4，∴DG＝1．在Rt△DCG中，CD＝
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22．（本小题满分10分）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元； ②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）． （1）用含x的代数式分别表示W1，W2；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？ 【解析】（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，根据“总利润＝盆数×每盆的利润”可得函数解析式；
（2）将盆景的利润加上花卉的利润可得总利润关于x的函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．
解：（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆， 所以W1＝（50+x）（160﹣2x）＝﹣2x+60x+8000，
W2＝19（50﹣x）＝﹣19x+950；
（2）根据题意，得：W＝W1+W2＝﹣2x+60x+8000﹣19x+950
＝﹣2x2+41x+8950 ＝﹣2（x﹣
∵﹣2＜0，且x为整数，
∴当x＝10时，W取得最大值，最大值为9160，
答：当x＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是9160元． 23．（本小题满分10分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式；
（2）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
）2+
，
22
福建省2024-2024-2024中考数学必刷试卷05（含解析）
