课时作业(二十八)
1．两圆x2＋y2－2x＝0和x2＋y2＋4y＝0的位置关系是( ) A．相离 C．相交 答案 C
2．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是( ) A.10 C.5 答案 B
解析 ∵两圆心间的距离d＝10＝2r，∴r＝
10. 2
B.10 2B．外切 D．内切
D．5
3．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( ) A．2x＋y－3＝0 C．4x－y－3＝0 答案 A
解析 根据平面几何知识，直线AB一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜1
率为，故直线AB的斜率一定是－2，只有选项A中直线的斜率为－2.
2
4．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是( ) A．(x－4)2＋(y－6)2＝6 C．(x－4)2＋(y－6)2＝36 答案 D
解析 半径为6，排除A，B，据题意可设圆心为(a，6)，因为所求圆与圆x2＋(y－3)2＝1内切，故
a2＋（6－3）2＝6－1＝5，解得a＝±4.选D.
B．(x±4)2＋(y－6)2＝6 D．(x±4)2＋(y－6)2＝36 B．2x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
1
5．圆(x＋)2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－3)2＝m2的公切线的条数为4，则m的取值范围是( )
23737
A．(－，)
443535
C．(2－，－2)
22答案 C
6．圆x2＋y2－4x＋2y＝0和圆x2＋y2－8x＝0交于M，N两点，则MN的垂直平分线的方
35
B．(0，－2)
2D．以上均不对
程是( ) A．x＋2y－4＝0 C．x－2y＋4＝0 答案 B
7．以相交两圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0及C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的公共弦为直径的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 364
C．(x＋)2＋(y＋)2＝
555答案 B
22?①?x＋y＋4x＋1＝0，
解析 联立?，①－②得公共弦方程x－y＝0③，弦长d＝2，
22??x＋y＋2x＋2y＋1＝0，②
B．x－2y－4＝0 D．2x－y－4＝0
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 364
D．(x－)2＋(y－)2＝
555
以公共弦为直径的圆的圆心一定在两圆圆心的连线上，两圆心连线方程为x＋y＋2＝0④，d
联立③④得所求圆的圆心坐标为(－1，－1)，圆的半径为r＝＝1.故选B.
2
8．经过两圆x2＋y2＝4和x2＋y2－10x＋16＝0的公共点且过P(4，2)的圆的个数是( ) A．1个
C．多于2的有限个 答案 D
解析 两圆外切，经过两圆公共点及P点的圆有无限个．
9．两圆C1：x2＋y2＝1和C2：(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a的值为__________． 答案 0或±25
解析 由题意可知两圆圆心坐标分别为C1(0，0)，C2(－4，a)，半径r1＝1，r2＝5. 当C1与C2内切时，|C1C2|＝r2－r1， 即
16＋a2＝5－1＝4，解得a＝0；
B．2个 D．无限个
当C1与C2外切时，|C1C2|＝r1＋r2， 即
16＋a2＝5＋1＝6，解得a＝±25. 10．已知⊙O的方程为x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程为x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，求动点P的轨迹方程．
解析 ∵圆O的方程为x2＋y2＝2，圆O′的方程为(x－4)2＋y2＝6， ∴O(0，0)，O′(4，0)．
∵|PA|＝|PB|，∴|PO|2－|OA|2＝|PO′|2－|O′B|2. ∴|PO′|2－|PO|2＝|O′B|2－|OA|2＝4.
设P点坐标为(x，y)，则有(x－4)2＋y2－x2－y2＝4. 3∴x＝.
2
3
∴动点P的轨迹方程为x＝.
2
11．实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相切？ 解析 将两圆的方程化为标准式， C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k， 圆C1的圆心C1(－2，3)，半径r1＝1， 圆C2的圆心C2(1，7)，半径r2＝∴|C1C2|＝
50－k(k<50)，
（－2－1）2＋（3－7）2＝5.
50－k＝5，
当两圆外切时，|C1C2|＝r1＋r2，即1＋∴k＝34.
当两圆内切时，|C1C2|＝|r1－r2|， 即|50－k－1|＝5，k＝14.
∴两圆相切时，k的值为34或14.
12．已知圆C1：x2＋y2－4x－2y－5＝0与圆C2：x2＋y2－6x－y－9＝0. (1)求证两圆相交；
(2)求两圆公共弦所在的直线方程；
(3)在平面上找一点P，过P点引两圆的切线并使它们的长都等于62. 解析 (1)圆C1：(x－2)2＋(y－1)2＝10， 173圆C2：(x－3)2＋(y－)2＝.
24
∵两圆心距|C1C2|＝且
15
（2－3）2＋（1－）2＝，
22
73573
－10<<＋10， 222
∴圆C1与圆C2相交．
22??x＋y－4x－2y－5＝0，(2)联立两圆方程?
22??x＋y－6x－y－9＝0，
两圆方程相减得两圆公共弦所在直线方程2x－y＋4＝0. (3)设P(x，y)，
??2x－y＋4＝0，
依题意得?
2＋y2－6x－y－9＝（62）2，x??
23
x＝－，?x＝3，
5?
解得或?
26?y＝10.y＝－，?5
???
2326
∴P点坐标为(－，－)或(3，10)．
55
13．求过点A(0，6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程．
思路分析 如图，所求圆经过原点和A(0，6)，且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上．根据这三个条件可确定圆的方程．
解析 将圆C化为标准方程，得(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，
则圆心为C(－5，－5)，半径为52，所以经过此圆心和原点的直线方程为x－y＝0. 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意知，O(0，0)，A(0，6)在此圆上，且圆心M(a，b)在直线x－y＝0上，则有 （0－a）＋（0－b）＝r，a＝3，
????
?（0－a）＋（6－b）＝r，??b＝3， ???a－b＝0，?r＝32.
22
22
22
于是所求圆的方程是(x－3)2＋(y－3)2＝18.
14．求与圆x2＋y2－2x＝0外切，且与直线x＋3y＝0相切于点(3，－3)的圆的方程． 思路分析 使用圆的标准方程，由题设列出方程组，求解待定系数． 解析 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. x2＋y2－2x＝0的圆心为(1，0)，半径为1. 由两圆相外切，得（a－1）2＋（b－0）2＝r＋1.①
由与直线x＋3y＝0切于点(3，－3)，得
??a－3
?|a＋3b|
＝r. ③
??1＋（3）
·（－
2
b＋3
1
）＝－1， ②3
由②得b＝3(a－4)，代入③得r＝±(2a－6)． 将r＝2a－6，b＝3(a－4)代入①， 得(a－1)2＋3(a－4)2＝(2a－5)2，解得a＝4. 将a＝4代入②及r＝(2a－6)，得b＝0，r＝2. 同理，将r＝－(2a－6)，b＝3(a－4)代入①， 可得a＝0，b＝－43，r＝6.
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36.
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