顶点是圆心的角叫圆心角,从圆心到弦的距离叫弦心距。 定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距相等。
推理:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 五、圆周角
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
推理1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
推理2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。
推理3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
由于以上的定理、推理,所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。 六、圆的内接四边形
多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫圆内接多边形,这个圆叫这个多边形的外接圆
定理:圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。
例如图6—1,连EF后,可得:
∠DEF=∠B ∠DEF+∠A=180°
∴∠A+∠B=18ry ∴BC∥DA
七、直线和圆的位置关系
1、直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫圆的割线
直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫圆的切线,唯一的公共点叫切点。
直线和圆没有公共点时,叫直线和圆相离。 2、若圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则:
直线和圆相交?d<r;直线和圆相切?d=r;直线和圆相离?d>r;直线和圆相交?d<r
例如:图6-2中,直线与圆O相割,有:r>d 图6-3中,直线与圆O相切,r=d 图6-4中,直线与圆O相离,r<d
八、切线的判定和性质
切线的判定:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径
推理1:经过圆心且垂直干切线的直线
必经过切点。
推理2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 例如图6-5中,O为圆心,AC是切线,D为切点。 ∠B=90° 则有BC是切线 OD是半径 OD⊥AC
九、三角形的内切圆
要求会作图,使它和己知三角形的各边都相切 ∵分角线上的点到角的两边距离相等。 ∴两条分角线的交点就是圆心。
这样作出的圆是三角形的内切圆,其圆心叫内心,三角形叫圆的外切三角形。
和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆,多边形叫圆的外切多边形。
十、切线长定理
经过圆外一点可作圆的两条切线。在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫这点到圆的切线长。
切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角,如图6-6 B、C为切点,O为圆心。 AB=AC,∠1=∠2
十一、弦切角
顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫弦切角。 弦切角定理弦切角等于它所央的弧对的圆周角。
推理如果两个弦切角所央的弧相等,那么这两个弦切角也相等。
例如图6-7,AB为切线, 则有:∠C=∠BAE,∠BAE=∠D ∴∠C=∠D
十二、和圆有关的比例线段
相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。
推理:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 推理:从圆外一点引两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等,如图6-8,若F为切点
则有:AF2=AH·AC,AG·AB=AF2 EM·MD=BM·MG CN·NH=DN·NE
十三、圆和圆的位置关系如图6-9
若连心线长为d,两圆的半径分别为R,r,则: 1、两圆外离?d >R+r; 2、两圆外切?d = R+r;
3、两圆相交?R-r<d<R+r(R>r) 4、两圆内切?d = R-r;(R>r) 5、两圆内含?d<R-r。(R>r) 定理相交两圆的连心线垂直平分丙两圆的公共弦。
如图6-10,O1,O2为圆心,
则有:AB⊥O1O2,且AB被O1O2平分 十四、两圆的公切线
和两个圆都相切的直线叫两圆的公切线,两圆在公切线同旁时,叫外公切线,在公切线两旁时,叫内公切线,公切线上两个切点的距离叫公切线的长。
如图6-11,若 A、B、C、D为切点,则AB为内公切线长,CD为外公切线长
内外公切线中的重要直角三角形,如图6-12,OO1A为直角三角形。
d2=(R-r)2+e2为外公切线长, 又如图 6-13, OO1C为直角三角形。 d2=(R十r)2+ e’2为内公切线长。
2020年中考数学总复习必考基础知识全套梳理提纲(精华版)
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