创优课堂数学北师大必修练习： 平面向量数量积习题课 含解析

18 平面向量数量积习题课 时间：45分钟 满分：80分 班级________ 姓名________ 分数________ 一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分) 1．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ＝( ) A．－1 B．1 C．－2 D．2 答案：A 解析：a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，∴λa＋b＝λ(1，－3)＋(4，－2)＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa＋b与a垂直，∴λ＋4＋(－3)(－3λ－2)＝0，∴λ＝－1，故选A. 2．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角为( ) ππA. B. 322π3πC. D. 34答案：C 12π解析：∵|a＋b|＝1，∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a·b〉＝. 233．已知向量a＝(3,4)，b＝(6，t)，若a与b的夹角为锐角，则实数t的取值范围是( ) A．(8，＋∞) 9－，8? B.??2?9－，＋∞? C.??2?9－，8?∪(8，＋∞) D.??2?答案：D 9解析：由题意，得a·b>0，即18＋4t>0，解得t>－.又当t＝8时，两向量同向，应去掉，2故选D. 4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠C＝150°，且AB＝3，BC＝1，CD＝2，则AD的长所在的区间为( ) A．(2,3) B．(3,4) C．(4,5) D．(5,6) 答案：C →→→→→→→→解析：由向量的性质，知AD＝AB＋BC＋CD，其中AB与BC的夹角为60°，BC与CD的夹→→→→→→→→→→→角为30°，AB与CD的夹角为90°，于是|AD|2＝|AB＋BC＋CD|2＝|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋2AB·BC13→→→→＋2BC·CD＋2AB·CD＝9＋1＋4＋2×3×1×＋2×1×2×＋0＝17＋23∈(16,25)，所以22AD∈(4,5)． →→5．在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则AD·AC的值等于( ) A．0 B．4 C．8 D．－4

答案：B →→解析：因为∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，所以∠BAD＝60°，AD＝2，则AD·AC＝→→→→→→→AD·(BC－BA)＝AD·BC－AD·BA＝－2×4×cos120°＝4，所以选B. 6．已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( ) A．1 B．2 2C.2 D. 2答案：C 解析：由(a－c)·(b－c)＝0得a·b－(a＋b)·c＋c2＝0，即c2＝(a＋b)·c，故|c|·|c|≤|a＋b|·|c|，即|c|≤|a＋b|＝2，故选C. 二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分) 7．已知向量a，b满足b＝(1，3)，b·(a－b)＝－3，则向量a在b方向上的投影为__________． 1答案： 212＋?3?2＝2且由b·(a－b)＝－3，解得a·b＝1，所以a在b方向上的投a·b1影为：|a|cos＝＝. |b|2→→8．△ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足AP·OA→→→→≤0，BP·OB≥0，则OB·AB的最小值为 __________. 答案：3 →→解析：∵AP·OA＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1.∴－x≥－1， →→∵BP·OB＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2. →→∴OP·AB＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3. 9．已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，设向量c满足(2a－c)·(3b－c)＝0，则|c|的最大值为 __________. 答案：26 15解析：设c＝(x，y)，则由题意得(2－x)·(－3－x)＋(2－y)·(3－y)＝0，即(x＋)2＋(y－)22213＝，所以|c|的最大值为直径26. 2解析：|b|＝三、解答题：(共35分，11＋12＋12) →→→→10．已知在四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，判断四边形ABCD的形状． →→→→解析：在四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA四个向量顺次首尾相接，则其和向量为零向量，故有a＋b＋c＋d＝0， ∴a＋b＝－(c＋d)，∴(a＋b)2＝(c＋d)2， 即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＝|d|2. 又a·b＝c·d，∴|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2.① 同理有|a|2＋|d|2＝|c|2＋|b|2，② 由①②可得|a|＝|c|，|b|＝|d|，即此四边形两组对边分别相等．

故四边形ABCD为平行四边形． 另一方面，由a·b＝b·c，有b·(a－c)＝0，由平行四边形ABCD得a＝－c，代入上式得b·(2a)＝0，即a·b＝0，故有a⊥b，即AB⊥BC. 综上，四边形ABCD是矩形． →→11．已知在△ABC中，AB＝(2,3)，AC＝(1，k)，且△ABC是直角三角形，求实数k的值． →→解析：(1)若∠BAC＝90°，即AC⊥AB，即AC·AB＝0， 2从而2＋3k＝0，解得k＝－； 3→→(2)若∠BCA＝90°，即AC⊥BC，即AC·BC＝0， →→→而BC＝AC－AB＝(－1，k－3)， 3±13故－1＋k(k－3)＝0，解得k＝； 2→→(3)若∠ABC＝90°，即AB⊥BC，即AB·BC＝0， →而BC＝(－1，k－3)， 11故－2＋3(k－3)＝0，解得k＝. 323±1311综合可知，k＝－或k＝或k＝. 32312．已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，a与b满足|ka＋b|＝3|a－kb|，其中k>0. (1)用k表示a·b； (2)求a·b的最小值，并求出此时a，b的夹角． 解析：(1)将|ka＋b|＝3|a－kb|两边平方，得|ka＋b|2＝(3|a－kb|)2， k2a2＋b2＋2ka·b＝3(a2＋k2b2－2ka·b)， ∴8ka·b＝(3－k2)a2＋(3k2－1)b2， ?3－k2?a2＋?3k2－1?b2a·b＝. 8k∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)， ∴a2＝1，b2＝1， 3－k2＋3k2－1k2＋1∴a·b＝＝. 8k4k(2)∵k2＋1≥2k(当且仅当1∴a·b的最小值为. 2设a，b的夹角为γ，则a·b＝|a||b|cosγ. 又|a|＝|b|＝1， 1∴＝1×1×cosγ， 2∴γ＝60°，即当a·b取最小值时，a与b的夹角为60°.

k2＋12k1k＝1时等号成立)，即≥＝， 4k4k2