中考数学专题复习——压轴题
1.已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A(-1,0)、B(0,3)两点,其顶点为D.
(1) 求该抛物线的解析式;
(2) 若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积;
(3) △AOB与△BDE是否相似?如果相似,请予以证明;如果不相似,请说明理由.
2??b4ac?b?(注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为?) ?,?2a?4a??
2. 如图,在Rt△ABC中,?A?90,AB?6,AC?8,D,E分别是边AB,AC的中点,点P从点D出发沿DE方向运动,过点P作PQ?BC于Q,过点Q作QR∥BA交
oAC于
R,当点Q与点C重合时,点P停止运动.设BQ?x,QR?y.
(1)求点D到BC的距离DH的长;
(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
(3)是否存在点P,使△PQR为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由.
A D P B H Q
R E C
3在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x.
(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S; (2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切?
(3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
A A N C P
图 3
B
D 图 2 M O B P C B
图 1
C N M O A N M O
4.如图1,在平面直角坐标系中,己知ΔAOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连结AP,并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.(1)求直线AB的解析式;(2)当点P运动到点(3,0)时,求此时DP的长及点D的坐标;(3)是否存在点P,使ΔOPD的面积等于3,若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. 4
5如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点,且满足AE+CF=2.
(1)求证:△BDE≌△BCF;
(2)判断△BEF的形状,并说明理由;
(3)设△BEF的面积为S,求S的取值范围.
压轴题答案
?c?31. 解:( 1)由已知得:?解得
?1?b?c?0?c=3,b=2
∴抛物线的线的解析式为y??x?2x?3 (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4)
所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称,所以E(3,0) 设对称轴与x轴的交点为F
所以四边形ABDE的面积=S?ABO?S梯形BOFD?S?DFE 2yDBGAOFEx111AO?BO?(BO?DF)?OF?EF?DF 222111=?1?3?(3?4)?1??2?4 222=
=9
(3)相似
如图,BD=BG2?DG2?12?12?2
BE=BO2?OE2?32?32?32 DE=DF2?EF2?22?42?25 所以BD?BE?20, DE?20即: BD2?BE2?DE2,所以?BDE是直角三角形 所以?AOB??DBE?90?,且
222AOBO2??, BDBE2所以?AOB:?DBE.
2 解:(1)Q?A?Rt?,AB?6,AC?8,?BC?10.
Q点D为AB中点,?BD?1AB?3. 2Q?DHB??A?90o,?B??B.
?△BHD∽△BAC, DHBDBD312,?DH???gAC??8?.
ACBCBC105(2)QQR∥AB,??QRC??A?90.
o△RQC∽△ABC, Q?C??C,??RQQCy10?x,??, ?ABBC6103x?6. 5即y关于x的函数关系式为:y??(3)存在,分三种情况:
①当PQ?PR时,过点P作PM?QR于M,则QM?RM.
A Q?1??2?90o,?C??2?90o,
??1??C.
QM484?, ?cos?1?cosC??,?QP5105B D P 1 M 2 H Q
R E C
1?3???x?6?425??,?x?18. ??12555②当PQ?RQ时,?A D B H
A
P E Q
R C 312x?6?, 55D B H
E P R Q
C
?x?6.
③当PR?QR时,则R为PQ中垂线上的点, 于是点R为EC的中点,
11?CR?CE?AC?2.
24QRBA, QtanC??CRCA3?x?6156?5?,?x?.
2281815综上所述,当x为或6或时,△PQR为等腰三角形.
52
3解:(1)∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C. ∴ △AMN ∽ △ABC.
B
A M O P C 图 1
N xAN∴ AM?AN,即?.
43ABAC3∴ AN=x. ……………2分
4∴ S=S?MNP?S?AMN?133?x?x?x2.(0<x<4) ……………3分 2481MN. 2(2)如图2,设直线BC与⊙O相切于点D,连结AO,OD,则AO =OD =在Rt△ABC中,BC =AB?AC=5. 由(1)知 △AMN ∽ △ABC.
M O B
Q
D 图 2
22A N xMN∴ AM?MN,即?.
45ABBCC 5x, 45∴ OD?x. …………………5分
8∴ MN?过M点作MQ⊥BC 于Q,则MQ?OD?5x. 8在Rt△BMQ与Rt△BCA中,∠B是公共角, ∴ △BMQ∽△BCA. ∴ BM?QM.
BCAC55?x8?25x,AB?BM?MA?25x?x?4. ∴ BM?24324∴ x=
96. 49
初中中考数学压轴题练习及答案
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