2.6 麦克斯韦方程组 2.7电磁场的边值关系
1、了解麦克斯韦方程组的建立过程，掌握它的基本性质； 2、了解边界上场不连续的原因，能导出电磁场的边值关系； 3、掌握电磁场方程微分形式和边界形式的联系与区别。 重点：1)麦克斯韦方程组的基本性质; 2) 电磁场的边值关系 难点： 电磁场切向边值关系的推导 讲授法、讨论 2学时
2.6 麦克斯韦方程组（Maxwell’s Equations）
一、麦克斯韦方程
1、库仑定律
稳dFr恒?1dq1dq2r??rrSD?dS?q???E???/??情4??R3R况??lEr?dlr?0???E?0?0? 2、毕奥－沙伐尔定律
dBr??JdVr?Rr??B??0?4?R3??rr实SB?dS?0?两验??rr对定CH?dl?I???H??J????Jr?0矛律3、法拉第电磁感应定律
盾 ??的?解缓变???d????dS?SBdt???t??E????B决?t？
情 况4、电荷守恒定律
??rr?Q0???SJ?dS??t???J??t?0 1865年发表了关于电磁场的第三篇论文：《电磁场的动力学理论》，在这篇论文
中，麦克斯韦提出了电磁场的普遍方程组，共20个方程，包括20个变量。直到1890 年，赫兹才给出简化的对称形式：
?r??Er???1(1)??Er???B???0?t(2)?r
????Br?0(3)??Br??r?E0J??0?0?t(4)第 1 页
麦克斯韦理论 上式即为真空中的麦克斯韦方程组，其中（2）（4）含有对时间的偏导数，对应 运动方程，（1）（3）为约束方程。 二、麦克斯韦方程组的基本性质 1、线性性
麦克斯韦方程组是一组线性方程，表明场服从迭加原理。 2、自洽性
方程组各个方程彼此协调，且与电荷守恒定律协调。
??????B如（2）式和（3）式一致：由（2）式有：????E???0???B?C，考虑到
?t???静磁时??B?0,所以取C?0。
又如（1）式和（4）式是一致的，且联立（1）(4)可以得到电荷守恒定律。
3、独立性
即麦克斯韦方程组中任一方程，都不可能由其余的方程推导出来。 4、对称性（只作简单介绍）
? 无源区（自由场）：J?0,??0,麦克斯韦方程可以写为：
rrr??B??E?0(1)??E??(2)???t r?rr?E???B?0(3)??B??0?0(4)??t?如对方程中的场量作如下代换：
??' E?cB,则上述麦克斯韦方程变为：
?r'??B?0???r'???E?0??(1)(3)r'r'?E??B??0?0?tr'r'?B??E???t(2)??'cB??E （c?1?0?0）
(4)上式表明自由空间的麦克斯韦方程组的形式不变（只是方程的次序发生了改变），
???'??'??'?'??E,BE??cB,B?EcE,BE即如果存在，则也必存在，并称为,B的对
????????偶场。
? 有源区：J?0,??0，无对偶不变性（对称性破缺），其根源在于方程中源的
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?不对称，即不存在磁荷。但若引入?m（磁荷）和Jm（磁流），使方程变为：
rrrr??B??E???(1)??E???J?(2)?00m??t r?rrr?E???B???(3)??B??J???(4)0m000??t?则可对场和源进行对偶变换，而使方程的形式不变：
??'??'cB??E 场：E?cB,??'??'源：?e??mc,?m??c?e；Je?Jmc,Jm??cJe 例如：对（2）式进行变换，有：
??'?'??E'? ??cB???0?cJe????
??t?c??????注意到c?1?0?0，化简得：
?'?'?'?E ??B??0Je??0?0
?t???'?'与（4）式一致，这表明对应E,B场，一定存在对偶场E,B。
????5、完备性（不作证明，有兴趣的学生自己证明）
完备性是指给定电荷、电流分布和相应的初始条件和边界条件后，方程组能给出 唯一正确的解。 证明：用反证法
???? 如果有两个不同的解E1,B1、E2,B2同时满足麦克斯韦方程和相应的初始条件、
??????边界条件。设E?E1?E2、B?B1?B2,显然，它们满足无源自由空间的麦克斯韦方
????程。即：
???????E ??E?0, ??E???B， ??B?0, ??B??0?0
?t?trrrr及齐次边界条件：E?B?0和齐次初始条件：E?B?0。
SSSSrr 因此，E,B对应的体系是无源的、无初始扰动、边界上值恒为零的体系。对于
这样一个电磁场，我们来计算如下积分：
d?rr1rr?I???0E?E?B?B?dV ?Vdt??0?第 3 页
第八讲：麦克斯韦方程组、电磁场的边界条件-10页word资料
