人教版九年级上册数学 圆 几何综合章末训练（Word版 含解析）
一、初三数学 圆易错题压轴题（难）
1．如图①，一个Rt△DEF直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作二射线AC与斜边EF平行，己知AB=12，DE=4，DF=3，点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP中点，设运动时间为t秒（t＞0）? （1）当t=5时，连接QE，PF，判断四边形PQEF的形状；
（2）如图②，若在点P运动时，Rt△DEF同时沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当D点到A点时，两个运动都停止，M为EF中点，解答下列问题： ①当D、M、Q三点在同一直线上时，求运动时间t；
②运动中，是否存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切？若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，说明理由．
【答案】（1）平行四边形EFPQ是菱形；（2）t=心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切． 【解析】
；当t为5秒或10秒时，以点Q为圆
试题分析：（1）过点Q作QH⊥AB于H，如图①，易得PQ=EF=5，由AC∥EF可得四边形EFPQ是平行四边形，易证△AHQ∽△EDF，从而可得AH=ED=4，进而可得AH=HE=4，根据垂直平分线的性质可得AQ=EQ，即可得到PQ=EQ，即可得到平行四边形EFPQ是菱形； （2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，则有AQ=t，EM=EF=，AD=12-t，DE=4．由EF∥AC可得△DEM∽△DAQ，然后运用相似三角形的性质就可求出t的值； ②若以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，则点Q在∠ADF的角平分线上（如图③）或在∠FDB的角平分线（如图④）上，故需分两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质求出AH、DH（用t表示），再结合AB=12，DB=t建立关于t的方程，然后解这个方程就可解决问题． 试题解析：（1）四边形EFPQ是菱形． 理由：过点Q作QH⊥AB于H，如图①，
∵t=5，∴AP=2×5=10． ∵点Q是AP的中点， ∴AQ=PQ=5．
∵∠EDF=90°，DE=4，DF=3， ∴EF=∴PQ=EF=5． ∵AC∥EF，
∴四边形EFPQ是平行四边形，且∠A=∠FEB． 又∵∠QHA=∠FDE=90°， ∴△AHQ∽△EDF， ∴
∵AQ=EF=5， ∴AH=ED=4． ∵AE=12-4=8， ∴HE=8-4=4， ∴AH=EH， ∴AQ=EQ， ∴PQ=EQ，
∴平行四边形EFPQ是菱形；
（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，
． =5，
此时AQ=t，EM=EF=，AD=12-t，DE=4． ∵EF∥AC， ∴△DEM∽△DAQ， ∴∴
， ，
解得t=
；
②存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切， 此时点Q在∠ADF的角平分线上或在∠FDB的角平分线上． Ⅰ．当点Q在∠ADF的角平分线上时， 过点Q作QH⊥AB于H，如图③，
则有∠HQD=∠HDQ=45°， ∴QH=DH．
∵△AHQ∽△EDF（已证）， ∴∴
， ，
∴QH=，AH=， ∴DH=QH=．
∵AB=AH+HD+BD=12，DB=t， ∴
++t=12，
∴t=5；
Ⅱ．当点Q在∠FDB的角平分线上时， 过点Q作QH⊥AB于H，如图④，
同理可得DH=QH=，AH=． ∵AB=AD+DB=AH-DH+DB=12，DB=t， ∴
-+t=12，
∴t=10．
综上所述：当t为5秒或10秒时，以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切．
考点：1．圆的综合题；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理；4．菱形的判定；5．相似三角形的判定与性质．
2．如图所示，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE//BD，交BC于点F，交AB于点E. （1）求证：∠E=∠C；
（2）若⊙O的半径为3，AD=2，试求AE的长； （3）在（2）的条件下，求△ABC的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）【解析】
48. 5试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：∠E=∠C；
（2）根据题意求出AB的长，然后根据平行线分线段定理，可求解； （3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解. 试题解析：（1）如解图，连接OB， ∵CD为⊙O的直径，
∴∠CBD＝∠CBO＋∠OBD＝90°， ∵AB是⊙O的切线，
∴∠ABO＝∠ABD＋∠OBD＝90°， ∴∠ABD＝∠CBO. ∵OB、OC是⊙O的半径， ∴OB＝OC，∴∠C＝∠CBO. ∵OE∥BD，∴∠E＝∠ABD， ∴∠E＝∠C；
（2）∵⊙O的半径为3，AD＝2， ∴AO＝5，∴AB＝4. ∵BD∥OE， ∴∴
＝
， ＝，
∴BE＝6，AE=6+4=10 （3）S△AOE=S△ABC=
S△AOE=
=15，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得
=
3．已知：在△ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，O为AB边上的一点，以O为圆心，OA长为半径作圆交AC于D点，过D作⊙O的切线交BC于E.
（1）若O为AB的中点(如图1)，则ED与EC的大小关系为：ED EC（填“（2）若OA<3时（如图2），（1）中的关系是否还成立？为什么？ （3）当⊙O过BC中点时（如图3），求CE长. 【答案】（1）ED=EC；（2）成立；（3）3 【解析】
”“”或“
”）
试题分析：（1）连接OD，根据切线的性质可得∠ODE=90°，则∠CDE+∠ADO=90°，由AB=6，BC=8，AC=10根据勾股定理的逆定理可证得∠ABC=90°，则∠A+∠C=90°，根据圆的基本性质可得∠A=∠ADO，即可得到∠CDE=∠C，从而证得结论； （2）证法同（1）；
（3）根据直角三角形的性质结合圆的基本性质求解即可. （1）连接OD
∵DE为⊙O的切线 ∴∠ODE=90° ∴∠CDE+∠ADO=90° ∵AB=6，BC=8，AC=10 ∴∠ABC=90° ∴∠A+∠C=90°
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