第7讲 力的平衡
（一）
掌握了基本的力的知识，我们就来继续探索一下物体的平衡需要哪些有关于力的方程来约束。
温馨寄语
知识点睛
首先，因为运动分成平动和转动两种，所以平衡也分平动的平衡和转动的平衡两种。平动的平衡就是我们说的受力平衡。转动的平衡就是力矩平衡。
回忆一下初中我们如何处理平衡问题？
二力平衡：两个力大小相等，方向相反，作用在同一直线上 三力平衡（高中）：相互平行的三个力，和二力平衡处理起来没有本质区别；如果三力共点，那么可以用力的矢量三角形法则处理。也可以用力的正交分解方法处理。
其中三角形的方法比较需要几何知识， 正交分解的方法，比较需要解方程能力。
共点力平衡的正交分解方法：（请思考为什么三力平衡必共点） 运用坐标系和力的正交分解可以归纳出静力学一般解题步骤。
①受力分析：对题目中每个个体或者你所选定的系统找出其受的各种力，并且画出受力图。为了防止
漏力，要养成按一般步骤分析的好习惯，一般应先分析重力；然后环绕物体一周，找出跟研究对象接触的物体，并逐个分析这些物体对研究对象的弹力和摩擦力，最后分析其他场力（电场力、磁场力）等。
②根据受力分析得到的力是立直角坐标系，要求需要分解的力越少越好。 ③根据直角坐标系对各种力进行正交分解（其中某个方向的力可正可负）。
2Fx?0④由平衡关系写出此即最后的静力学方程。
2Fy?0⑤根据此方程可解出所需要的问题。
正交分解处理受力平衡的技巧：
取正交分解的时候，我们的原则是，建立一个直角坐标系，最好沿着某一方向上，完全没有某个“无关”的力
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例题精讲
【例1】 均匀长棒一端搁在地面上，另一端用细线系在天花板上，如图所示，若细线竖直，试分析棒
的受力情况。
【解析】
注意这里棒不受摩擦力
【例2】 如图三根长度均为l的轻杆用段链连接并固定在水平天花板上的A、B两点，AB两点相距2l，
会在段链C上悬挂一个质量为m的重物，要使CD杆保持水平，则在D点上应施加的最小力为多少？
【解析1】受力分析：
解：①对C点进行受力分析.
②对D点进行受力分析.
③对C建立坐标系对力进行正交分析，求T2. T1cos30??mg?T2?T1?sin30??T2
3mg 3④从D点受力分析可以知道对D点用力最小为T2sin60??F Fmin?1mg 2【解析2】用力矩解（可以在板块二中讲解）
把ABCD包括重物考虑成一个系统，一共受四个力A点、B点的墙对杆力，C受一个重力，D点一个外力，AC杆、BD杆力都沿杆，则必过一个交点E（如图）则对E点只要C点的重力，和所求的一个外力，要求力矩平衡并且F最小，则F的力臂应最长为DE，则
F?DE?mg?CE?sin30?
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mg 2【例3】 两个质量为M，半径为R的相同圆球A和B，用两根长为l（l?2R）的绳悬挂于O点，在两
R
球上另有一质量为m（m?nM），半径为r（r?）的圆球C，如图，已知三球的表面光滑，
2
试讨论此系统处于平衡时，绳与竖直线的夹角?与n的关系.
【解析】该图对称，可只考虑半边，对A球、C球分析。 ①受力分析 F?A球： C球：
②建立直角坐标系，并受力分解，写出力平衡方程.
cos??Ncos??Mg A球：T???ns?in T?sin
C球：2Ncos?=mg=nMg
sina3R4?4n?3n21??2?sin?? 且sin?≥即两球相交 a和?有关联：
sin?3R16(1?n)324?4n?3n2110?810∴≥?n≤?1.3
16(1?n)927①若n?1.3，系统不能平衡.
②n?1.3系统平衡，且此时A、B无作用力
4?4n?3n2③n?1.3，A：A、B球分开 ??arcsin
16(1?n)1 B：A、B接触，则??arcsin
3
【例4】 一重为W的匀质球静止于倾角为?1和?2的两固定斜面之间，如图，设所有接触面都光滑，求斜
面作用于球上的力。
【解析】①受力分析.
②建立坐标系，受力分解，写出力平衡方程. N1?cos?1?W?N2?cos?2 N1sin?1?N2sin?2.
Wsin?2WN1??
sin(?2??1)cos?1?sin?1cos?2Wsin?1N2?
sin(?2??1)
【例5】 质量均为m的两环A、B用长为a的细线相连在水平杆上，在细线的中点拴有一质量为M的物
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块C，如图，A、B环与杆间的静摩擦系数为?，求平衡情况下的两环的最大距离x.
【解析】①受力分析：
环： M：②建立坐标系，受力分解：
N?mg?Tcos??2m环：) ??tg???(1?f?N??Tsin??MM：2T?cos??M
2m)M∴x?2a?sin?? 2m1??2(1?)2M
2a?(1?
相互作用——力
我们的高中教材中提到了四种相互作用。其中万有引力相互作用是很好理解的，质量本身的存在就产生了引力。类似的只要有电荷，或者有电流，就有电磁相互作用。存在相互作用，存在和距离有关的力，就必然有相应的势能。同样的有了新的势能，就必然有新的对应的相互作用，或者力。历史上，强弱两种相互作用就是这样发现的。随着实验技术的进步，人们在研究基本粒子，放射性等涉及原子核，以及原子核的结构的实验的时候，发现了很多用引力和电磁力解释不了的现象。人们发现了在?衰变中，仅仅用电磁力和引力，能量是不守恒的。多余出来的能量，通过研究，发现它是一种新的势能，所以就由此定义了弱相互作用。
后来，费曼等等物理学家通过大量实验和复杂的数学，把电磁相互作用和弱相互作 用统一了起来，叫做电弱相互作用。他们的理论可以简单理解为：电磁相互作用是
电弱相互作用在宏观的表现；弱相互作用是微观的表现。而关于强相互作用， 因为作用距离很小，也就是它产生势能的范围很小，能量很高，很不稳定，研 究起来困难重重。所以现在人们虽然定义了强相互作用，但是对于强相互作用 的理解，还有待于进一步的拓展。
知识点睛
板块二 力矩及刚体平衡
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1．力矩 讲力矩 首先要规定矩心，就是对什么点的力矩，如图，取点O为矩心（也就是转动的“中心”，其实是一个轴和平面的焦点），r是从矩心到力的作用点的径矢，则力F对0的力矩O是r跟F的夹角。通常还按右手螺旋法则规定力矩的方向，即垂直于r和F所在平面，且当右手螺旋从r的方向转到F的方向，其前进方向即M的方向。（关于力矩的大小和方向的以上规定常常也表示为矢量式M?r×F）.
这里一定要注意，力矩和运动一样，一定要先选定参考点才可以去讨论力矩，同时力矩作为一个矢量，其加减也是对于同一个参考点下的力矩。 附录：矢量与矢量的乘积分均点乘和叉乘
??点乘：a?b?|a||b|cos?乘积结果为一个标量.
???叉乘：a×b?|a||b|sin?叉乘结果的还是一个矢量，大小为前式的表达，该矢量的方向：垂直于a和?b确定的平面，并由右手螺旋定则确定方向。
2．刚体平衡条件
①刚体：是指整体及其各部分的形状和大小均保持不变的物体，显然这也是对客观物体的一个抽象，但是质点的抽象更具体一些，因为给出了形状。同时刚体也正因为有了形状，其运动方式要比质点更复杂，除了平动以外，还有刚体可以绕着任意一点做转动。
②刚体的平衡：单纯力给出物体的平动，而力矩可以使物体绕着某个点转动，因此，要让刚体平衡，必须满足两个条件. 2F?0?合力为0.
2M?0?相对于任意一点的合力矩为0.
注意：作用在同一刚体（或系统）但不同作用点的力可以平移到同一点进行合力，不同作用点的效果由力矩来体现. ③力偶与偶矩
对大小相等，方向相反但不共线的力，称为力偶.
对力偶的合力为0，但它们对任意一定点的力矩不为0.
????? r1?F×1?r2???????F?×rF?×12r21?1???F?×1r2 F??
二力平衡 对于一个受两个力的物体，这两个力必须方向相反，并在同一直线上才能使该物体平衡了。 三力平衡 如果一个刚体只受三个力作用，而且这三个力不平行，那么，由于合力为0，这三个力必共面且相交于一点，如果三力不共点，则第三个力和前二个力的合力会构成一个力偶。如果三力不共面，则三力的合力必不为0，所以一个物体受三个力三力必共面共点.
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高一物理竞赛讲义第7讲 教师版
