10.(2019·长春质检)长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：
点击量 节数 [0,1 000] 6 (1 000,3 000] 18 (3 000，＋∞) 12 (1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3 000的节数； (2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0,1 000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000,3 000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X的分布列.
12
解：(1)根据分层抽样可知，选出的6节课中点击量超过3 000的节数为×6＝2.
36(2)由分层抽样可知，(1)中选出的6节课中点击量在区间[0,1 000]内的有1节，点击量在区间(1 000,3 000]内的有3节，故X的可能取值为0,20,40,60.
11
11C3C262
P(X＝0)＝2＝，P(X＝20)＝2＝＝，
C615C61552C1512＋C3
P(X＝40)＝＝＝， 2C6153
C1313P(X＝60)＝2＝＝，
C6155则X的分布列为
X P
11.(2018·郑州第一次质量预测)为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行.市政府为了了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单位各200名员工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示，
(1)若甲单位数据的平均数是122，求x；
(2)现从图中的数据中任取4天的数据(甲、乙两个单位中各取2天)，记抽取的4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130的天数分别为ξ1，ξ2，令η＝ξ1＋ξ2，求η的分布列.
解：(1)由题意知
1
[105＋107＋113＋115＋119＋126＋(120＋x)＋132＋134＋141]10
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0 1 1520 2 540 1 360 1 5＝122，
解得x＝8.
(2)由题得ξ1的所有可能取值为0,1,2，ξ2的所有可能取值为0,1,2，因为η＝ξ1＋ξ2，所以随机变量η的所有可能取值为0,1,2,3,4.
因为甲单位低碳出行的人数不低于130的天数为3，乙单位低碳出行的人数不低于130的天数为4，
2C277C6所以P(η＝0)＝22＝，
C10C104512211C1917C3C6＋C7C4C6
P(η＝1)＝＝， 22C10C102252221111
C213C6＋C7C4＋C7C3C6C4
P(η＝2)＝＝， 22C10C10311112
C2223C6C4＋C7C3C4
P(η＝3)＝＝， 22C10C102252C223C4P(η＝4)＝22＝.
C10C10225
所以η的分布列为
η P 0 7 451 91 2252 1 3 二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1.若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1＜x2，则P(x1≤ξ≤x2)等于( ) A.(1－α)(1－β) C.1－α(1－β)
B.1－(α＋β) D.1－β(1－α)
3 22 2254 2 225解析：选B 显然P(ξ＞x2)＝β，P(ξ＜x1)＝α.由概率分布列的性质可知P(x1≤ξ≤x2)＝1－P(ξ＞x2)－P(ξ＜x1)＝1－α－β.
2.一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，试过的次数X为随机变量，则P(X＝k)等于( )
kA.n k－1C.n 1B.n k！D. n！
n－1
解析：选B {X＝k}表示“第k次恰好打开，前k－1次没有打开”，∴P(X＝k)＝nn－2n－?k－1?11××…××＝n. n－1n－?k－2?n－?k－1?
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3.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完即为旧的，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为________.
2C1279C3解析：事件“X＝4”表示取出的3个球有1个新球，2个旧球，故P(X＝4)＝3＝.
C12220
27
答案：. 220
(二)难点专练——适情自主选
4.某班级50名学生的考试分数x分布在区间[50,100)内，设考试分数x的分布频率是f(x)
?10－0.4，10n≤x＜10?n＋1?，n＝5，6，7，且f(x)＝?n
－?5＋b，10n≤x＜10?n＋1?，n＝8，9.
n
考试成绩采用“5分制”，规定：
考试分数在[50,60)内的成绩记为1分，考试分数在[60,70)内的成绩记为2分，考试分数在[70,80)内的成绩记为3分，考试分数在[80,90)内的成绩记为4分，考试分数在[90,100)内的成绩记为5分.在50名学生中用分层抽样的方法，从成绩为1分、2分及3分的学生中随机抽出6人，再从这6人中随机抽出3人，记这3人的成绩之和为ξ(将频率视为概率).
(1)求b的值，并估计该班的考试平均分数； (2)求P(ξ＝7)； (3)求ξ的分布列.
?解：(1)因为f(x)＝?n
－?5＋b，10n≤x＜10?n＋1?，n＝8，9，
估计该班的考试平均分数为
n
－0.4，10n≤x＜10?n＋1?，n＝5，6，7，10
56789
－0.4?＋?－0.4?＋?－0.4?＋?－＋b?＋?－＋b?＝1，所以b＝1.9. 所以??10??10??10??5??5?
?5－0.4?×55＋?6－0.4?×65＋?7－0.4?×75＋?－8＋1.9?×85＋?－9＋1.9?×95＝
?10??10??10??5??5?
76.
(2)按分层抽样的方法分别从考试成绩记为1分，2分，3分的学生中抽出1人，2人，
112
C233C1＋C3C23人，再从这6人中抽出3人，所以P(ξ＝7)＝＝. 3C610
(3)因为ξ的可能取值为5,6,7,8,9，
2111
C11C133C21C21C2C33C2所以P(ξ＝5)＝3＝，P(ξ＝6)＝＝，P(ξ＝7)＝，P(ξ＝8)＝3＝C620C31010C66
3C313，P(ξ＝9)＝3＝. 10C620
故ξ的分布列为
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ξ P
5 1 206 3 107 3 108 3 109 1 20版权所有：中国好课堂www.zghkt.cn
高考数学（理）总复习讲义： 离散型随机变量及其分布列
