4C116C4P(X＝4)＝5＝. C1042
因此X的分布列为
X P
[解题技法]
1.随机变量是否服从超几何分布的判断
若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取n次；(2)随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然.
2.求超几何分布的分布列的步骤
第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；
第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； 第三步，用表格的形式列出分布列.
[过关训练]
某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列.
解：因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X的分布列服从参数N＝8，M＝3，n＝3的超几何分布.
i03
Ci3C3C3C555
X的所有可能取值为0,1,2,3，其中P(X＝i)＝则P(X＝0)＝3＝，3(i＝0,1,2,3)，C8C828
－
0 1 421 5 212 10 213 5 214 1 42210C1C215C313C5153C53C5P(X＝1)＝3＝，P(X＝2)＝3＝，P(X＝3)＝3＝. C828C856C856
所以X的分布列为
X P
考点三 求离散型随机变量的分布列[师生共研过关]
[典例精析]
已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3
0 5 281 15 282 15 563 1 56版权所有：中国好课堂www.zghkt.cn
件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.
[解] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)＝
1A132A3. 2＝A510
(2)X的可能取值为200,300,400，
A3＋C2C3A23A212则P(X＝200)＝2＝，P(X＝300)＝＝， 3A510A510P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－故X的分布列为
X P
[解题技法]
离散型随机变量分布列的求解步骤
200 1 10300 3 10400 3 5133－＝. 10105
3
1
1
2
[过关训练]
有编号为1,2,3，…，n的n个学生，入座编号为1,2,3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法.
(1)求n的值；
(2)求随机变量X的分布列.
解：(1)因为当X＝2时，有C2n种坐法， 所以C2n＝6，即
n?n－1?
＝6， 2
n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4. (2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X， 由题意知X的可能取值是0,2,3,4， 所以P(X＝0)＝
11
， 4＝A424
C2614×1
P(X＝2)＝4＝＝，
A4244
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C3814×2
P(X＝3)＝4＝＝，
A424393
P(X＝4)＝4＝，
A48
所以随机变量X的分布列为
X P
[课时跟踪检测]
一、题点全面练
1.若随机变量X的分布列为
X P
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是( ) A.(－∞，2] C.(1,2]
B.[1,2] D.(1,2)
－2 0.1 －1 0.2 0 0.2 1 0.3 2 0.1 3 0.1 0 1 242 1 43 1 34 3 8解析：选C 由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2].
1?k
2.设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝a??3?(其中k＝1,2,3)，则a的值为( ) A.1 11C. 13
9B. 1327D. 13
解析：选D 因为随机变量X的分布列为 1?k
P(X＝k)＝a??3?(k＝1,2,3)，
1?2?1?31所以根据分布列的性质有a×＋a?＋a?3?＝1，
3?3?111?13
＋＋＝a×＝1， 所以a??3927?2727
所以a＝. 13
3.(2024·赣州模拟)一袋中装有5个球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为( )
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A. B.
C. D.
2C43C233解析：选C 随机变量ξ的可能取值为1,2,3，P(ξ＝1)＝3＝，P(ξ＝2)＝3＝，
C55C510
C212P(ξ＝3)＝3＝，故选C.
C510
4.一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为?n－m?A2m
止，设此时取出了X个白球，下列概率等于的是( ) 3An
A.P(X＝3) C.P(X≤3)
B.P(X≥2) D.P(X＝2)
?n－m?A2m
解析：选D 依题意知，是取了3次，所以取出白球应为2个. 3An
5.已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝
16
，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( ) 45
B.20% D.40%
A.10% C.30%
1
C1C10x?10－x?16－xx·
解析：选B 设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝＝＝，∴x2C104545
＝2或8.
2
∵次品率不超过40%，∴x＝2，∴次品率为＝20%.
106.某射击选手射击环数的分布列为
X P
若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为________.
解析：由分布列的性质得a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为40%. 答案：40%
7.已知随机变量X的概率分别为p1，p2，p3，且依次成等差数列，则公差d的取值范围是________.
1
解析：由分布列的性质及等差数列的性质得p1＋p2＋p3＝3p2＝1，p2＝，
3
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7 0.3 8 0.3 9 a 10 b ?p1≥0，?又?即??p3≥0，
?
?1
?3＋d≥0，
1
－d≥0，3
11得－≤d≤.
33
11
－，? 答案：??33?
8.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________.
解析：设所选女生人数为X，则X服从超几何分布， 其中N＝6，M＝2，n＝3，
032
C2C4C142C4则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝3＋3＝.
C6C65
4
答案：
5
9.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列.
222
C262C3＋C3C3
解：(1)由已知，得P(A)＝＝. 4C835
6
所以事件A发生的概率为.
35
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4，
4kCk5C3
其中P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4).
C48
－
13C5C31
故P(X＝1)＝4＝，
C8142C235C3P(X＝2)＝4＝，
C871C335C3P(X＝3)＝4＝，
C870C415C3P(X＝4)＝4＝，
C814
所以随机变量X的分布列为
X P
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1 1 142 3 73 3 74 1 14
高考数学（理）总复习讲义： 离散型随机变量及其分布列
