高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩解析:(1) 例1.(1)求 (2) 的值; (2)求证 : . 因为 ,所以因为 ,所以技巧积累:(1) (2) (3) 例2.(1)求证: (2)求证: (3)求证: (4) 求证： 解析:(1)因为 ,所以 (2) (3)先运用分,最后就式放缩法证明出 ,再结合可以得到答案到 再证 (4)进行裂项首先 ,所以容易经过裂项得而由均值不等式知道这是显然成立 例3.求证: 解析: 一方面: 因 时, ,当 时, , )当 的，所以 为 ,所以时, , 另一方面: 当 所以综上有 例4.(2008年全国一卷 ，整数 .证明设函解数 .数列20 × 20 满足 . . 设: .
析: 由数学归纳法可以证明 是递增数列, 故 知 , , 因:首先可若存在正整数 , 使 , 则 , 若 ,则由为 ,于是 例5.已知 ,求证 : . 解析以证明: 所以要证价于 , 即等价于成立. 例6.已知而 例7.已知 只要证: 故只要证 , 即等,所以原命题 从而正是成立的求证: . , ,解析: 所以: , , ,求证: 证明 因为 ,所以 :先所以二、函数放缩例8.求证： . 解析 构造函数有 ,从而 cause 所以析:例9.求证:(1) 解构造函数 ,得到 ,再进行裂项 ,求和后可 函数构造形式: , 例10.求证: 解以得到答案析:提示: 函数构造形式: 当然本题的证明还 如图,取函数 , 首先: ,从相加后可以得, , 所以有 ,可以运用积分放缩而, 取 有, , 所以有 , ,…, , , 取 有到: 另一方面 ,从而有所以综上有 例11.求证: 和 .解析:构造函数后即可证明 例12.求证: 解析: ,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式: (加强命题) 例13.证明: 解析构造函数 ,求导20 × 20 :,可以得到: ,令 有 ,令
有 , 所以 ,所以 ,令已知 证明 . 解析 有, 所以 ,所以 例14. ,: , 然后两边取自然对数可以得到然后运用 。于是和裂项可以得到答案) ， 即 注：题目所给放缩思路：条件 （ ）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论质检数 )来放缩：已知函数 ，若 即 例:16.(2008年福州市解析 设函数 ∴函.∴ 例 上处的最）上单调递增，在 ，即总有 而上单调递减即 令 则小值为15.(2008年厦门市质检) 已知函数,若 在 是在处可导的函数函数式 上恒成立. (I)求证： ； (III)已知不等上是增函数； (II)当 求证： 时恒成立，解析:(I) ,所以函数 ,所以 两上是增函数 (II)因为上是增函数式相加后可以得到 (3) …… 相加后可以得到: 所以 令 ,有 所以 (方法二) 所以 姐妹不等式: 和:看b,若 b 又 ,所以 三、分式放缩小者小,记忆口诀”小,则不等大者大” 解释,反之. 例号是小于号20 × 20 19. 姐妹不等式: 和
压轴题放缩法技巧全总结
