一维声子晶体的振动特性研究＊
宋玉敏1,高 云2,王雪文3,周 鹏1,王成玉1,杨 海1
【摘 要】摘 要: 利用平面波展开法计算了6种不同材料组分的一维杆状结构声子晶体振动带隙,分别讨论了晶格的尺寸大小、两种复合材料的组分比以及材料的密度等对声子晶体振动带隙频宽的影响.结果表明:在晶体的晶格尺寸大小、两种复合材料(金属和非金属)的组分比不变的情况下,振动的第一带隙的初始频率随着金属密度的增大而减小,截止频率基本不变;当所选材料的组分比不变时,随着晶格尺寸的增大,一维二组元复合声子晶体的振动带隙的初始频率及截止频率减小,同时带隙的频宽也随之减小;而当材料组分比小于1时即所选金属材料的份数小于非金属时,随着金属材料量的增大,振动带隙的初始频率及截止频率减小,从而带隙的频宽也减小;而当材料组分比大于1时即金属材料的份数大于非金属时,振动带隙的初始频率增大,截止频率减小,以及带隙的频宽也随之减小. 【期刊名称】云南师范大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2010(030)002 【总页数】5
【关键词】关键词: 声子晶体;弹性波带隙;平面波展开法;晶格常数
在自然科学中有许多重大的发现都是在对波的传播中研究发现的.近10多年来,经典波在周期性结构中传播的研究受到广泛关注,典型的例子之一就是声子晶体的研究.弹性系数(或拉曼系数)及密度等周期性分布的复合材料在材料中被称为声子晶体.弹性波这里指声波在受到弹性系数及密度等的周期性调制时,可能会产生弹性波带隙即声子带隙.目前声子晶体的研究主要集中在完全带隙的产生条件和影响因素以及如何产生低频带隙等方面.与光子晶体相比,声子晶体所具有的一
大特征是其组成材料的弹性系数可以有很大的反差,这使得低频带隙的产生也成为可能.
本文在详细介绍声子晶体弹性波带隙计算方法——平面波展开法的基础上,计算了一维杆状结构声子晶体的弹性波振动带隙频率和频宽,讨论了晶格的尺寸大小、材料组分比、材料的密度等对声子晶体振动带隙频宽的影响,并得出相应的结论.在计算中均认为材料的弹性系数为常数.
1 一维声子晶体振动带隙计算
目前已有很多种计算声子晶体弹性波带隙的方法,其中比较成熟的有平面波展开法[2-6]、时域有限差分法、多重散射法、集中质量法、传递矩阵法等.平面波展开法在方法上简单明了,得出的结果物理意义又很明显,因此在声子晶体弹性波带隙带宽计算上得到的应用很普遍.
平面波展开法,基本思路是在波动方程中将所选材料的弹性系数和密度等在倒格矢空间以平面波叠加的形式展开为傅氏级数,代入到波动方程中,即可把弹性波(即声波)方程转化为一个本征方程,然后求解此方程的本征值便得到传播的声子晶体材料的色散关系,在本文中即得到一维声子晶体振动带隙和带宽等情况. 两种不同弹性系数和密度的材料A和B在x方向上交替排列形成一维二组元类似于杆状的周期性结构,a为晶格常数(a=aA+aB). 沿x方向传播的弹性波满足如下波动方程[7]
式中ρ为密度;E为杨氏模量;u(x,t)为x截面的位移.由于密度和杨氏模量呈周期分布,可将密度和杨氏模量展开为傅氏级数形式即 式中G为倒空间上的倒格矢.
由于式(1)中除时间和位移变量外所有系数都具有相同的周期性,即类似于周期复
合介质的情形,根据B loch定理,式(1)的解的形式为
式中uk(x)是与E(x)、1/ρ(x)具有相同周期的函数,也可以展开为傅氏级数的形式,即
联立式[4][5]即得到
式中G0为倒空间上的倒格矢,为B loch波矢.在一维情况下,用正负即可表示其波传播的方向,所以将它们写成标量形式. 将式(2)、(3)、(5)和(6)代入(1)整理可得
令G′=G0+G,由于ei(G′+k)x正交,对应的各项系数相等,所以有
倒格矢在倒空间上周期无限延拓,式(8)是对无限多个倒格矢的求和,为了得到具有一定精度的近似解,在一维情况下可在倒空间的原点左右对称选取有限个倒格矢的值G′和G0.如果(8)式中选取N个倒格矢,则转化为N×N矩阵元的本征值方程,可以采用数值计算的方法求解方程的本征值即可. 另外,式(2)中的密度展开式中的系数为 对于图1所示的一维声子晶体结构,式(9)即为 同理,对于弹性模量E有
2 数值计算结果
选取202个倒格矢,方程(8)为202×202矩阵元的本征值方程.在第一布里渊区[-π/a, π/a]内,给定一个波矢k,对同一方程可以得到无限多个本征解,相应的本征频率为wnk.当波矢发生变化时,便得到角频率w和波矢k之间的变化关系.振动在一维杆状复合结构中是以弹性波(主要是纵波)的形式传播的,此时纵波的带隙表现为振动带隙,宽度即为频宽.计算中所用材料的参数见表1.
图1、2、3是氧化铝、钢、铅分别与丁腈橡胶声子晶体振动带隙结构图,横坐标
一维声子晶体的振动特性研究
