第三讲
行程之多人多次相遇
教学目标 行程问题是各种竞赛与小升初入学考试必考大题，其中多人多次相遇问题是行程问题中的难点，本讲从一般的相遇与追及问题出发，讨论在环形线路、变速变向等多种行程问题，并引伸到与行程问题相类似的钟面问题。
1. 回顾火车过桥、流水行程等问题； 2. 环形路线上的相遇和追及问题； 3. 速度行程问题与比例关系； 4. 钟面上的行程问题。
专题回顾 【例1】 一条船顺水航行48千米，再逆水航行16千米，共用了5小时；这
知船顺水航行32千米，再逆水航行24千米，也用5小时。求这条船在静水中的速度。
【分析】 这道题的数量关系比较隐蔽，我们条件摘录整理如下：
顺水 48千米 32千米 逆水 16千米 24千米 时间 5小时 比较条件可知，船顺水航行48千米，改为32千米，即少行了48-32=16（千米），那么逆水行程就由16千米增加到24千米，这就是在相同的时间里，船顺水行程是逆水行程的16÷8=2倍。所以“逆水航行16千米”，可转换为“顺水航行16×2=32（千米），这样船5小时一共顺水航行18+32=80（千米），船顺水速为80÷5=16千米，船逆水速为16÷2=8（千米）。船静水速为（16+8）÷2=12（千米）。
【例2】 甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，往返跑步。甲每秒跑3米，
乙每秒跑7米。如果他们的第四次相遇点与第五次相遇点的距离是150米，求A、B两点间的距离为多少米？ 【例3】
ACEDB【分析】
（法一）画图分析知甲、乙速度比为：S甲:S乙?V甲:V乙?3:7，第四次相遇甲乙共走：4×2－1＝7（个全程），甲走了：3×7＝21（份）在C点，第五次相遇甲乙共走：5×2－1＝9（个全程），甲走了：3×9＝27（份）在D点,已知CD是150米，所以AB的长度是150÷6×（3+7）＝250（米）。
（法二）也有不画图又比较快的方法：第四次相遇：（2×4－1）×3÷20余数为1 则在x的位置，第五次相遇：（2×5－1）×3÷20余数为7 则在7x的位置，x表示速度基数7x?1x?6x，??6x?150，
，即全程AB为250米。 10x?10?150?6?250（米）相向而行。已知A比B的速度快50%，根据推算，第20072007次相遇点与第20082008次相遇点相距58厘米，这条轨道长_ 厘米。
A、B两车速度比为?1?50%?:1?3:2；
【拓展】（08年首届奥数网杯）电子玩具车A与B在一条轨道的两端同时出发，
【分析】
第20072007次相遇点的位置在：
3??2?20072007?1??5?mod10?；
第20082008次相遇点的位置在： 所以这条轨道长
58??5?3??5?145（厘米）
经典精讲 环形跑道行程 【例4】 如下图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形。甲、乙两人分别从两
个对角处沿逆时针方向同时出发。如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？ 【分析】
当甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有300米长。
当甲、乙之间的距离等于300米时，即甲追上乙一条边（300米）需 300??90?70??15（分），
此时甲走了90?15?300?4.5（条）边，
所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。但是甲只要再走0.5条边就可以看到乙了，即甲从出发走5条边后可看到乙，共需
2300?5?90?16（分），即16分40秒。
3【例5】 甲乙两名选手在一条河中进行划船比赛，赛道是河中央的长方形
ABCD，其中AD?100米，AB?80米，已知水流从左到右，速度为每秒
1
米，甲乙两名选手从A处同时出发，甲沿顺时针方向划行，乙沿逆时针方向划行，已知甲比乙的静水速度每秒快1米，（AB、CD边上视为静水），两人第一次相遇在CD边上的P点，4CP?CD，那么在比赛开始的5分钟内，两人一共相遇几次？（5次）
【分析】
设乙的速度为x米/秒，则可列得方程： 解得：x?3。所以甲的速度为4米/秒。
甲游一圈需要931秒，乙游一圈需要1281秒。
335分钟内，甲游了3圈还多20秒，乙游了2圈还多431秒。
3多余的时间不够合游一圈，所以两人合游了5圈。 所以两人共相遇了5次。
【例6】 （2005年《小学生数学报》优秀小读者评选活动）有一种机器人玩
具装置，配备长、短不同的两条跑道，其中长跑道长400厘米，短跑道长300厘米，且有200厘米的公用跑道(如下图)。机器人甲按逆时针方向以每秒6厘米的速度在长跑道上跑动，机器人乙按顺时针方向以每秒4厘米的速度在短跑道上跑动。如果甲、乙两个机器人同时从点A出发，那么当两个机器人在跑道上第3迎面相遇时，机器人甲距离出发点A点多少厘米
【分析】 第一次在B1点相遇，甲、乙共跑了400厘米(见左下图)。
第二次在B2点相遇（要排除甲还没有第二次上长跑道时可能发生的相遇事件），甲、乙共跑了700厘米(见右上图)。同理，第三次相遇，甲、乙又共跑了700厘米。共用时间 (400+700+700)÷(6+4)=180(秒)， 甲跑了6×180=1080(厘米)，距A点 400×3—1080=120(厘米)。
注：处理多次相遇问题时，有一种常见思考方法——分段考虑。 【例7】 （第五届“走进美妙的数学花园”决赛）如图，甲、乙两只蜗牛同
时从A点出发，甲沿长方形ABCD逆时针爬行，乙沿?AOD逆时针爬行．若
AB?10，BC?14，AO?DO?10，且两只蜗牛的速度相同，则当两只蜗牛
间的距离第一次达到最大值时，它们所爬过的路程的和为多少
【分析】
很显然，在这幅地图上最长的距离是长方形的对角线，如果两只蜗牛同时处于一条对角线的两端，那么这是这两只蜗牛之间的距离达到最大值.对角线有两条所以也应该分为两种情况：
奥数第3讲[1][1].竞赛123班.教师版
