三角函数中的数学思想方法
扬中市第二高级中学 季成龙
摘要：本文主要研究了三角函数一章中所渗透的各种数学思想。从其涵义出发，具体介绍了数形结合，方程函数，以及化归等解决问题的方法，并通过大量习题详细讲解了它们在本章知识中的应用。在此基础上，提出了运用数学思想探究问题规律的教学观点。
关键词：三角函数；数学思想方法；数形结合思想；化归思想；思维能力
三角函数问题是中学数学重要内容之一，在数学的各个分支都有广泛的应用，同时也是历年高考的一个热点。三角函数问题中所蕴涵的数学思想，更是值得我们在教学过程中去开发和领悟。在三角函数一章的学习和复习中，熟练掌握以下几种数学思想方法，有助于提高同学们灵活处理问题和解决问题的能力。 一、 数形结合思想-
数形结合思想即运用数与形的关系来解决数学问题。可以借助数的精确性来说明形的某些属性；也可借助形的直观性来阐明数之间的某种关系。体现在三角函数中是利用单位圆中的三角函数线、三角函数图象求三角函数定义域、解三角不等式、求单调区间、讨论方程实根的个数、比较大小等。
例1．函数y?25?x2?lncosx的定义域是
?25?x2?0??5?x?5解析：该函数的定义域即不等式组?的解集，即??cosx?0?cosx?0的解集
???若用传统方法则要求?x/?5?x?5?与??x/2k???x?2k???的交集，
?22?比较麻烦，
若画出y?cosx,x???5,5?的图象如图2所示，再由cosx?0， 易得x????5,??
3???????3?????,??,5? 2??22??2?例2．求方程lgx?sinx实根的个数
解析：此方程为超越方程，可通过数形结合法求出方程的实根个数。
在同一坐标系中画出函数y?lgx与y?sinx的图象，
如图3所示，两个图象有三个交点,即方程lgx?sinx有三个实根。
y 0 x
二、 函数与方程思想
三角函数本身就一种特殊的函数，解决三角函数问题自然离不开函数与方程的思想。体现在某些三角函数问题可用函数的思想求解参
数的值（范围）问题；有些三角函数问题可以直接转化为一元二次方程求解，还有一些三角问题，依据题设条件和求角结构，适当选取三角公式联立组成方程组，以达到消元求值的目的，这是方程的思想在三角求值、证明等问题中的最佳表现。
例3．求当函数y?sin2x?mcosx?m?的最大值为1时m的值 解析：依据题设条件，可转化为关于cosx的二次函数，利用二次函数在闭区间上求最值的方法求解。
m1m?m2m1?2y??cosx?mcosx?????cosx?????.
222?422?21232设cosx?t.?1?cosx?1,??1?t?1.
m?m2m1??求函数y???cosx?????.的最大值为1时m的值等
2?422?2?m?mm1价于求闭区间上的二次函数y???t?????.(?1?t?1)的最
422?2?22大值为1时m的值
m3m3m2m1t??1，y有最大值为??，?? （1）当??1时，即m?2时，
222422由题设可知?3m35??1,?m????2（舍去）； 223mmm2m1t?，y有最大值为??，（2）当?1??1时，即?2?m?2时， 22422m2m1由题设可知??=1，解得m?1?7 （正号舍去）
422mm3?1时，即m?2时，t?1，y有最大值为?， 222m3由题设可知??1,?m?5
22（3）当
综上可得m?1?7或a?5.
三角函数中的数学思想方法
