1.2.1 几个常用函数的导数
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
明目标、知重点
12
1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x，y＝，y＝x的导数．
x2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
1．几个常用函数的导数
原函数 导函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝ xf(x)＝x 2.基本初等函数的导数公式 原函数 1f′(x)＝0 f′(x)＝1 f′(x)＝2x f′(x)＝－2 xf′(x)＝12x 1导函数 f(x)＝c f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x f′(x)＝0 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝cos_x f′(x)＝－sin_x f′(x)＝axln_a(a>0) f′(x)＝ex f′(x)＝(a>0且a≠1) xln af′(x)＝ x11
情境导学]
在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求
出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题． 探究点一 几个常用函数的导数
思考1 怎样利用定义求函数y＝f(x)的导数？ Δy答 (1)计算，并化简；
Δx(2)观察当Δx趋近于0时，
Δy趋近于哪个定值； ΔxΔy(3)趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数． Δx思考2 利用定义求下列常用函数的导数： ①y＝c，②y＝x，③y＝x， 1
④y＝，⑤y＝x.
2
x答 ①y′＝0，②y′＝1，③y′＝2x，④y′＝Δlim x→0
Δy＝ Δx11－x＋Δxx－11lim ＝lim ＝－(其它类同)， Δx→0Δx→0x?x＋Δx?Δxx21⑤y′＝. 2x思考3 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率．物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度． (1)函数y＝f(x)＝c(常数)的导数的物理意义是什么？ (2)函数y＝f(x)＝x的导数的物理意义呢？ 答 (1)若y＝c表示路程关于时间的函数，
则y′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．
(2)若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
思考4 在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数．
(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？
(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ (3)函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？
答 函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象如图所示，导数分别为y′＝2，y′＝3，y′＝4.
(1)从图象上看，函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的导数分别表示这三
条直线的斜率．
(2)在这三个函数中，y＝4x增加得最快，y＝2x增加得最慢．
(3)函数y＝kx(k>0)增加的快慢与k有关系，即与函数的导数有关系，k越大，函数增加得越快，k越小，函数增加得越慢．
函数y＝kx(k<0)减少的快慢与|k|有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k|越大，函数减少得越快，|k|越小，函数减少得越慢．
1
思考5 画出函数y＝的图象．根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切
x线方程．
11
答 函数y＝的图象如图所示，结合函数图象及其导数y′＝－2发现，
xx1
当x<0时，随着x的增加，函数y＝减少得越来越快；当x>0时，随
x着x的增加，函数减少得越来越慢．
1
点(1,1)处切线的斜率就是导数y′|x＝1＝－2＝－1，故斜率为－1，过
1点(1,1)的切线方程为y＝－x＋2.
思考6 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？
答 可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度． 探究点二 基本初等函数的导数公式
思考 你能发现8个基本初等函数的导数公式之间的联系吗？ 答 公式6是公式5的特例，公式8是公式7的特例． 例1 求下列函数的导数：
π143x(1)y＝sin；(2)y＝5；(3)y＝3；(4)y＝x；
3x(5)y＝log3x. 解 (1)y′＝0；
(2)y′＝(5)′＝5ln 5；
xx?1?－3－4
(3)y′＝?3?′＝(x)′＝－3x；
x??
331343
(4)y′＝(x)′＝(x)′＝x－＝；
4444
4x(5)y′＝(log3x)′＝
1
. xln 3
反思与感悟 对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，π3
必须做到以下两点：一是正确理解，如sin＝是常数，而常数的导数一定为零，就不会32π?π?出现?sin?′＝cos这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可转化为指
3?3?数式，利用公式2求导． 跟踪训练1 求下列函数的导数：
1x18
(1)y＝x；(2)y＝()；(3)y＝xx；(4)y＝logx.
23解 (1)y′＝8x；
1x11x(2)y′＝()ln ＝－()ln 2；
222331
(3)∵y＝xx＝x，∴y′＝x；
222(4)y′＝
113＝－
1
. xln 3
7
xln 例2 判断下列计算是否正确． π求y＝cos x在x＝处的导数，过程如下： 3y′|x＝＝?cos?′＝－sin ＝－3π3??π??π33. 2解 错误．应为y′＝－sin x， ππ3
∴y′|x＝＝－sin ＝－.
332
反思与感悟 函数f(x)在点x0处的导数等于f′(x)在点x＝x0处的函数值．在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将x0代入导函数求解，不能先代入后求导． 跟踪训练2 求函数f(x)＝ln x在x＝1处的导数． 1
解 f′(x)＝(ln x)′＝，
x∴f′(1)＝1，
∴函数f(x)在x＝1处的导数为1. 探究点三 导数公式的综合应用
按照基本初等函数的导数公式，我们可以解决两类问题： (1)可求基本初等函数图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程． (2)知切线斜率可求切点坐标．
例3 已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x相交于A、B两点，O是坐标原点，试求与直
2
线l平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB上求一点P，使△ABP的面积最大．
解 设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝ y′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，
y0 ＝1.
故可得P(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0.
由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x相交于A、B两点，所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，故P(1,1)点即为所求弧?AOB上的点，使△ABP的面积最大．
反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算． 跟踪训练3 点P是曲线y＝e上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
解 根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝e相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1， 即y′|x＝x0＝1.∵y′＝(e)′＝e，
∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝e，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为xxxxx2
2. 2
1．给出下列结论： 13①若y＝3，则y′＝－4； xx133
②若y＝x，则y′＝x；
31－3
③若y＝2，则y′＝－2x；
x④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3. 其中正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 C
1－3
解析 ①y＝3＝x，
x3－4
则y′＝－3x＝－4；
x112133
②y＝x＝x，则y′＝·x－≠x；
3333
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.2.1几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式
