高等代数课外习题 第七章 线性变换
第七章 线性变换
一、判断题
1、 在向量空间R3中, ?(x1,x2,x3)?(2x1,x2,x2?x3), 则?就是R3的一个线性变换、 ( )、
2、?就是向量空间V的线性变换, 向量组?1,?2,L,?m线性相关, 那么
?(?1),?(?2),L,?(?m)也线性相关、 ( )、
3 在向量空间Rn[x]中, 则微商?(f(x))?f(x)就是一个线性变换、 ( )、 4、 ( )、
'线性变换在不同基下对应的矩阵就是相似的、
5、 相似矩阵不一定就是同一线性变换在不同基下的矩阵、 ( )、
6、向量空间V的线性变换?的象与核都就是?的不变子空间、 ( )、 7、 属于线性变换?同一特征根?0的特征向量的线性组合仍就是?的特征向量、 ( )、
8、 ?在一个基下可以对角化, 则?在任何基下可以对角化、 ( )、 9、设?为n维线性空间V的一个线性变换,则由?的秩＋?的零度＝n,有
V??(V)???1(0). ( )
10、n阶方阵A至少有一特征值为零的充分必要条件就是|A|?0.( ) 11、、最小多项式就是特征多项式的因式、 ( ) 12、相似的矩阵有相同的特征多项式 ( ) 13、设A?P形。( )
n?n,A的特征多项式有n个单根,则存在可逆矩阵T?Pn?n,使T?1AT具有对角
14、若?就是数域P上n维线性空间的线性变换,?的特征值为?1,?2,?,?r,则?可对角化?特征子空间的维数之与等于n。( )
?1?V??(0)?V。(F) n?V15、 就是维线性空间的一个线性变换,则
二、填空题
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?a11?1、在V3的基{?1,?2,?3}下?的矩阵就是A?a21??a?31a12a22a32a13??a23? a33??那么?关于基{?3,?1??2,2?1}的矩阵就是_____________、
2、 在F3中的线性变换?(x1,x2,x3)?(2x1?x2,x2?x3,x1), 那么?关于基
?1?(1,0,0),?2?(0,1,0),?3?(0,0,1)的矩阵就是________________、
3、(?0I?A)X?0的___________都就是A的属于?0的特征向量、
4、 设V就是数域F上的n维向量空间, ??L(V),?的不同的特征根就是?1,?2,L,?t, 则?可对角化的充要条件就是_____________、
?327?
??
5、 矩阵?024?的特征根就是______________、
?005???
6、复矩阵A?(aij)n?n的全体特征值的与等于________ ,而全体特征值的积等于_______ 、 7、数域P上n维线性空间V的全体线性变换所成的线性空间L(V)为_______维线性空间,它与________同构、
8、设n阶矩阵A的全体特征值为?1,?2,L,?n,f(x)为任一多项式,则f(A)的全体特征值为________ 、 9、设A???13??1?,则向量??就是A的属于特征值 的特征向量. ??22??1??????1k0??1?10?????10、若A???100?与B??10?1?相似,则k= .
?0k1??001?????11、n阶方阵A满足A?A,则A的特征值为 .
12、设A就是有限维空间V的线性变换,f (λ)就是A的特征多项式,那么f (A)=________ 13、已知三阶实对称矩阵A的特征值为1,?22,3,则A?1的
特征值为 。
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?A1??0A,Ag(x),g(x)121214、的最小多项式分别就是,则矩阵?是 。 15、设四阶矩阵A与B相似,矩阵A的特征值为 。
0??A2??的最小多项式就
1?1?2?3?4,1,1,1,则行列式B?1?E?
三、单选题:
1、“有相同的特征多项式”这就是两个矩阵相似的( )条件。
A.充分 B. 必要 C. 充分必要 D、 以上都不对
2、若线性变换?与?就是( ),则?的象与核都就是? 的不变子空间。
A.互逆的 B. 可交换的 C. 不等的 D、 不可换的
3、同一个线性变换在不同基下的矩阵就是( )
①合同的; ②相似的; ③相等的; ④正交的。
4、设三阶方阵A有特征值为?1?1,?2??1,?3?2,其对应的特征向量分别就是x1,x2,x3,设P??x3,x2,x1?,,则P?1AP=( )
?100???A、 0?10 B、 ????002????100??200??200??010? C、???? 0?10 D、010 ??????????002???001???00?1??5、设A为可逆方阵,则A的特征值( )
A.全部为零 B、不全部为零 C、全部非零 D、全为正数
6、设A为n阶可逆矩阵,?就是A的一个特征值,A为A的伴随矩阵,则A的特征值之一( )
A、
????1A B、 ??1A C、 ?A D 、 ?A
nn7、 设A、B为n阶方阵,且A与B相似,E为n阶单位阵,则( )。
(A)?E?A??E?B (B)A与B有相同的特征值与特征向量 (C)A与B相似于一个对角矩阵 (D)对任意常数t,tE?A与tE?B相似 8、n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件就是( )。 (A)A的n个特征值互不相同 (B)A可逆
(C)A无零特征值 (D)A有n个线性无关的特征向量 9、设可逆矩阵A有一个特征值为2,则(A)有一个特征值为( )。
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