行程问题基础
教学目标
1．行程的基本概念，会解一些简单的行程题.
2．掌握单个变量的平均速度问题及其三种基本解题方法：“特殊值法”、“设而不求法”、“设单位1法” 3．利用对比分析法解终（中）点问题 知识点拨：
一、s、v、t探源
我们经常在解决行程问题的过程中用到s、v、t三个字母，并用它们来分别代表路程、速度和时间。那么，为什么分别用这三个字母对应这三个行程问题的基本量呢？今天我们就一起了解一下。表示时间的t，这个字母t代表英文单词time，翻译过来就是时间的意思。表示速度的字母v，对应的单词同学们可能不太熟悉，这个单词是velocity，而不是我们常用来表示速度的speed。velocity表示物理学上的速度。与路程相对应的英文单词，一般来说应该是distance，但这个单词并不是以字母s开头的。关于为什么会用s来代表路程，有一个比较让人接受的说法，就是在行程问题的公式中，代表速度的v和代表时间的t在字母表中比较接近，所以就选取了跟这两个字母位臵都比较接近的s来表示速度。
二、关于s、v、t 三者的基本关系
速度×时间=路程 可简记为：s = vt 路程÷速度=时间 可简记为：t = s÷v 路程÷时间=速度 可简记为：v = s÷t
三、平均速度
平均速度的基本关系式为： 平均速度?总路程?总时间； 总时间?总路程?平均速度； 总路程?平均速度?总时间。 典型例题：
模块一、简单行程公式解题
【例 1】 韩雪的家距离学校480米，原计划7点40从家出发8点可到校，现在还是按原时间离开家，不
过每分钟比原来多走16米，那么韩雪几点就可到校？
【解析】 原来韩雪到校所用的时间为20分钟，速度为：480?20?24(米/分)，现在每分钟比原来多走16
米，即现在的速度为24?16?40(米/分)，那么现在上学所用的时间为：480?40?12(分钟)，7点40分从家出发，12分钟后，即7点52分可到学校．
【巩固】 甲、乙两地相距100千米。下午3点，一辆马车从甲地出发前往乙地，每小时走10千米；
晚上9点，一辆汽车从甲地出发驶向乙地，为了使汽车不比马车晚到达乙地，汽车每小时最少要行驶多少千米？.
【解析】 马车从甲地到乙地需要100÷10=10小时，在汽车出发时，马车已经走了9-3=6(小时)。依题意，
汽车必须在10-6=4小时内到达乙地，其每小时最少要行驶100÷4=25(千米)．
【巩固】 两辆汽车都从北京出发到某地，货车每小时行60千米，15小时可到达。客车每小时行50千米，
如果客车想与货车同时到达某地，它要比货车提前开出几小时？
【解析】 北京到某地的距离为：60?15?900（千米），客车到达某地需要的时间为：900?50?18（小时），
18?15?3（小时），所以客车要比货车提前开出3小时。
【巩固】 甲、乙两辆汽车分别从 A、B 两地出发相向而行，甲车先行三小时后乙车从 B 地出发，乙车
出发5 小时后两车还相距15千米．甲车每小时行 48千米，乙车每小时行 50千米．求 A、 B 两地间相距多少千米？
【解析】 在整个过程中，甲车行驶了 3＋5= 8?(小时)，行驶的路程为：48× 8 =384(千米)；乙车行驶了 5 小
时，行驶的路程为： 50 ×5 =250(千米)，此时两车还相距15 千米，所以 A 、 B 两地间相距：384＋250＋15 =649(千米)．
【巩固】 一天，梨和桃约好在天安门见面，梨每小时走200千米，桃每小时走150千米，他们同时出发2小时后还相距500千米，则梨和桃之间的距离是多少千米？
【解析】 我们可以先求出2小时梨和桃走的路程：(200?150)?2?700(千米)，又因为还差500千米，所以
梨和桃之间的距离：700?500?1200(千米)．
【巩固】 两列火车从相距480千米的两城相向而行，甲列车每小时行40千米，乙列车每小时行42千米，
5小时后，甲、乙两车还相距多少千米？
【解析】 两车的相距路程减去5小时两车共行的路程，就得到了两车还相距的路程：
480?(40?42)??5?480?410?70（千米）．
【巩固】 小白从家骑车去学校，每小时15千米，用时2小时，回来以每小时10千米的速度行驶，需
要多少时间？
【解析】 从家到学校的路程：15?2?30（千米），回来的时间 30?10?3（小时）．
【例 2】 邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走12千米上坡路，8千米下坡路。
他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地停留1小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局?
【解析】 法一：先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻。①邮递员到达对面山里需时间：
12÷4+8÷5=4.6(小时);②邮递员返回到邮局共用时间：8÷4+12÷5+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = l0(小时)③邮递员回到邮局时的时刻是：7+10-12=5(时).邮递员是下午5时回到邮局的。
法二：从整体上考虑，邮递员走了（12+8）千米的上坡路，走了（12+8）千米的下坡路，所以共用时间为：（12+8）÷4+（12+8）÷5+1=10(小时)，邮递员是下午7+10-12=5(时) 回到邮局的。
【例 3】 一个人站在铁道旁,听见行近来的火车汽笛声后,再过57秒钟火车经过他面前.已知火车汽笛时离
他1360米;(轨道是笔直的)声速是每秒钟340米,求火车的速度?(得数保留整数)
【解析】 火车拉汽笛时离这个人1360米.因为声速每秒种340米,所以这个人听见汽笛声时,经过了
(1360÷340=)4秒.可见火车行1360米用了(57+4=)61秒,将距离除以时间可求出火车的速度. 1360÷(57+1360÷340)=1360÷61≈22(米)
【例 4】 龟兔赛跑，同时出发，全程6990米，龟每分钟爬30米，兔每分钟跑330米，兔跑了10分钟就
停下来睡了215分钟，醒来后立即以原速往前跑，问龟和兔谁先到达终点？先到的比后到的快多少米？
（215?10）?6750（米）【解析】 先算出兔子跑了330?10?3300（米），乌龟跑了30?，此时乌龟只余下
6990?6750?240（米），乌龟还需要240?30?8（分钟）到达终点，兔子在这段时间内跑了8?330?2640（米），所以兔子一共跑3300?2640?5940（米）．所以乌龟先到，快了6990?5940?1050（米）．
【例 5】 甲、乙两地相距6720米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时
间平均每分钟行60米.问他走后一半路程用了多少分钟？
【解析】 方法一：由于前一半时间与后一半时间的平均速度是已知的，因此可以计算出这人步行的时间．而
如果了解清楚各段的路程、时间与速度，题目结果也就自然地被计算出来了．应指出，如果前一半时间平均速度为每分钟80米，后一半时间平均速度为每分钟60米，则这个人从甲走到乙的平均速度就为每分钟走(80+60)÷2=70米．这是因为一分钟80米，一分钟60米，两分钟一共140米，平均每分钟70米．而每分钟走80米的时间与每分钟走60米的时间相同，所以平均速度始终是每分钟70米．这样，就可以计算出这个人走完全程所需要的时间是6720÷70=96分钟．由于前一半时间的速度大于后一半时间的速度，所以前一半的时间所走路程大于6720÷2=3360米．则前一个3360米用了3360÷80=42分钟；后一半路程所需时间为96-42=54分钟．
方法二：设走一半路程时间是x分钟，则80x+60x=6720，解方程得：x=48分钟，因为80×48=3840（米），
大于一半路程3360米，所以走前一半路程速度都是80米，时间是3360÷80=42（分钟），后一半路程时间是48+（48-42）=54（分钟）.
评注：首先，从这道题我们可以看出“一半时间”与“一半路程”的区别．在时间相等的情况下，总的平均速
度可以是各段平均速度的平均数．但在各段路程相等的情况下，这样做就是不正确的．其次，后一半路程是混合了每分钟80米和每分钟60米两种状态，直接求所需时间并不容易．而前一半路程所需时间的计算是简单的．因此，在几种方法都可行的情况下，选择一种好的简单的方法．这种选择能力也是需要锻炼和培养的．
【巩固】 甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间
平均每分钟行70米．问他走后一半路程用了多少分钟？
（80?70）?2?75（米）【解析】 方法一：全程的平均速度是每分钟，走完全程的时间是6000?75?80（分
钟），走前一半路程速度一定是80米，时间是3000?80?37.5（分钟），后一半路程时间是80?37.5?42.5（分钟）．
方法二：设走一半路程时间是x分钟，则80x?70x?6?1000，解得x?40（分钟），因为80?40 ?3200（米），
大于一半路程3000米，所以走前一半路程速度都是80米，时间是3000?80?37.5（分钟），后
（40?37.5）?42.5（分钟）一半路程时间是40?．
模块二、平均速度问题
【例 6】 如图，从A到B是12千米下坡路，从B到C是8千米平路，从C到D是4千米上坡路.小张
步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.问小张从A到D的平均速度是多少?
AD
【解析】 从A到B的时间为：12÷6=2（小时），从B到C的时间为：8÷4=2（小时），从C到D的时间为：
4÷2=2（小时），从A到D的总时间为：2+2+2=6（小时），总路程为：12+8+4=24（千米），那么从A到D 的平均速度为：24÷6=4（千米/时）．
【巩固】 如图，从A到B是6千米下坡路，从B到C是4千米平路，从C到D是4千米上坡路.小
张步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.问从A到D的平均速度是多少？
ADBC
【解析】 从A到B的时间为：6÷6=1（小时），从B到C的时间为：4÷4=1（小时），从C到D的时间为：
4÷2=2（小时），从A到D的总时间为：1+1+2=4（小时），总路程为：6+4+4=14（千米），那么从A到D 的平均速度为：14÷4=3.5（千米/时）
【巩固】 摩托车驾驶员以每小时30千米的速度行驶了90千米到达某地，返回时每小时行驶45千米，
求摩托车驾驶员往返全程的平均速度.
【解析】 要求往返全程的平均速度是多少，必须知道摩托车“往”与“返”的总路程和“往”与“返”的总时间.摩
托车“往”行了90千米，“返”也行了90千米，所以摩托车的总路程是：90×2=180（千米），摩托车“往”的速度是每小时30千米，所用时间是：90÷30=3（小时），摩托车“返”的速度是每小时45千米，所用时间是：90÷45=2（小时），往返共用时间是：3+2=5（小时），由此可求出往返的平均速度，列式为：90×2÷（90÷30+90÷45）=180÷5=36（千米/小时）
【巩固】 甲乙两地相距200千米，小强去时的速度是10千米/小时，回来的速度是40千米/小时，求小强
往返的平均速度．
【解析】 去时的时间200?10?20（小时），回来的时间200?40?5（小时），平均速度?总路程?总时间
?（200?200）?（20?5）?16（千米/小时）．
【巩固】 一辆汽车从甲地出发到300千米外的乙地去，前120千米的平均速度为40千米／时，要想使这
辆汽车从甲地到乙地的平均速度为50千米／时，剩下的路程应以什么速度行驶？
【解析】
BC
求速度首先找相应的路程和时间，平均速度说明了总路程与总时间的关系，剩下的路程为：300-120=180（千米），计划总时间为：300÷50=6（小时），前120千米已用去120÷40=3（小时），所以剩下路程的速度为: （300-120）÷（6-3）=60（千米/时）.
【巩固】 一个运动员进行爬山训练．从A地出发，上山路长30千米，每小时行3千米．爬到山顶后，沿
原路下山，下山每小时行6千米．求这位运动员上山、下山的平均速度．
【解析】 这道题目是行程问题中关于求上、下山平均速度的问题．解题时应区分平均速度和速度的平均数
这两个不同的概念．速度的平均数?(上山速度+下山速度)?2，而平均速度?上、下山的总路程?上、下山所用的时间和．所以上山时间：30?3?10(小时)，下山时间：30?6?5(小时)，上、
（10?5）?60?15?4(千米/小时)． 下山平均速度：30?2?【例 7】 一个人从甲地去乙地，骑自行车走完全程的一半时，自行车坏了，又无法修理，只好推车步行
到乙地. 骑车时每小时行12千米，步行时每小时4千米，这个人走完全程的平均速度是多少？
【解析】 ① 参数法：设全程的的一半为S千米，前一半时间为S?12，后一半时间为S?4，根据公式平
均速度=总路程÷总时间，可得2S??S?12?S?4??6（千米）。
②题目中没有告诉我们总的路程，给计算带来不便，仔细想一想，前一段路程与后一段路程相等，总路程是不影响平均速度的，我们自己设一个路程好了，路程的一半既是12的倍数又是4的倍
数，所以可以假设路程的一半为?12,4??12（千米），来回两段路，每段路程12千米，那么总路
程是：12?2?24 (千米),总时间是：12?12?12?4?4（小时），所以平均速度是：24?4?6（千米/小时）
注意：在这种特定的题目中，随便选一个方便的数字做总路程并不是不科学的，因为我们可以把总路程设为“单位1”，这样做无非是设了“单位24”，也就是把所有路程扩大了24倍变成整数，没有任何问题，不论总路程设成多少，结论都是一样的，大家可以验证一下.
【巩固】 汽车往返于A，B两地，去时速度为40千米／时，要想来回的平均速度为48千米／时，回来时
的速度应为多少？
【解析】 ① 参数法：设A、B两地相距S千米，列式为S÷(2S÷48-S÷40)=60千米.
② 最小公倍法：路程2倍既是48的倍数又是40的倍数，所以可以假设路程为〔48，40〕=240千米.根据公式变形可得 240÷2÷（240÷48-240÷2÷40）=60千米.
【巩固】 飞机以720千米／时的速度从甲地到乙地，到达后立即以480千米／时的速度返回甲地.求该车
的平均速度.
【解析】 设两地距离为：?720,480??1440（千米），从甲地到乙地的时间为：1440?720?2（小时），从
乙地到甲地的时间为：1440?480?3（小时），所以该飞机的平均速度为：1440?2??2?3??576（千米）。
【巩固】 汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地，到达后立即以48千米/时的速度返回甲地。求该车的平
均速度。
【解析】 想求汽车的平均速度=汽车行驶的全程÷总时间 ，在这道题目中如果我们知道汽车行驶的全程，
进而就能求出总时间，那么问题就迎刃而解了。在此我们不妨采用“特殊值”法，这是奥数里面非常重要的一种思想，在很多题目中都有应用。①把甲、乙两地的距离视为1千米，总时间为：1÷72+1÷48，平均速度=2÷（1÷72+1÷48）=57.6千米/时。 ②我们发现①中的取值在计算过程中不太方便，我们可不可以找到一个比较好计算的数呢？在此我们可以把甲、乙两地的距离视为[72，48]=144千米，这样计算时间时就好计算一些，平均速度=144×2÷（144÷72+144÷48）=57.6千米/时。
【巩固】 从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚会讲故事，王先生开车去拜访这位老和尚，汽车上
山以30千米／时的速度，到达山顶后以60千米／时的速度下山.求该车的平均速度.
【解析】 设两地距离为：?30,60??60（千米），上山时间为：60?30?2（小时），下山时间为：60?60?1（小时），所以该飞机的平均速度为：60?2??2?1??40（千米）。
【巩固】 某人上山速度为每小时8千米，下山的速度为每小时12千米，问此人上下山的平均速度是多少？ 【解析】 方法一：用设数代入法，设从山脚至山顶路程为48千米，下山用时为（小时），共用时6?4?10（小
时），路程为48?2?96（千米），平均速度为96?10?9.6（千米/小时） 方法二：设路程为单位1，上山用时为8，下山用时为12，共用时8?122?5?9.6（千米/小时）. 241111?524，距离为1?2?2，平均速度为
【巩固】 胡老师骑自行车过一座桥，上桥速度为每小时12千米，下桥速度为每小时24千米，而且上桥
与下桥所经过的路程相等，中间也没有停顿，问这个人骑车过这座桥的平均速度是多少？ 16千米/小时． 【解析】
【例 8】 小明去爬山，上山时每时行2.5千米，下山时每时行4千米，往返共用3.9时。小明往返一趟共
行了多少千米？
【解析】 方法一：路程=总时间×平均速度，先求出平均速度，设上下山路程为10千米，10×2÷（10÷2.5+10÷4）
=20÷6.5=40/13（千米/时）所以总路程：40/13×3.9=12（千米）。
方法二：设上山用x小时，下山用?3.9?x?小时，所以列方程为：2.5x?4?3.9?x?，解得x?2.4，所以小明往返共走：2.4?2.5?2?12（千米）。
【巩固】 小明上午九点上山，每小时3千米，在山顶休息1小时候开始下山，每小时4千米，下午一点
半到达山下，问他共走了多少千米.
【解析】 上午九点上山下午1点半下山，用时4.5小时，除去休息的一个小时，上山和下山共用时3.5小
时.上山速度3千米/小时，下山速度4千米/小时，若假设上下山距离为12千米的话，则上山用时4小时，下山用时3小时，总用时应为7小时，而实际用时3.5小时，则实际路程应为12?2?6千米
【巩固】 小明从甲地到乙地，去时每时走2千米，回来时每时走3千米，来回共用了5小时．小明去时
用了多长时间？
【解析】 方法一：路程=总时间×平均速度，先求出平均速度，设上下山路程为6千米，6×2÷（6÷2+6÷3）
=12÷5=2.4（千米/时）所以总路程：2.4×5=12（千米），所以去时用时间为：12?2?2?3（小时） 方法二：设上山用x小时，下山用?5?x?小时，所以列方程为：2x?3?5?x?，解得x?3，所以去时用时间为3小时。
方法三:因为路程?速度?时间，来回的路程是一样的，速度不同导致所用的时间不同，同时，速度与时间的乘积是不变的，因为去时的速度与回来时的速度之比为2：3，所以去时的时间与回来时的时间比为3：2，把去时用的时间看作3份，那么回来时所用时间为2份，它们的和为5，由和倍关系式，去时所用的时间为5?(2?3)??3?3(小时)．
【巩固】 小明从甲地到乙地，去时每时走2千米，回来时每时走3千米，来回共用了15小时．小明去时
用了多长时间？
【解析】 假设总路程为6千米，那么去时用6?2?3（小时），回来用6?3?2（小时），来回共用5小时，
而题目中是15小时，是假设时间5小时的3倍，那么总路程就是6?3?18（千米）。所以，去时用了18?2?9（小时）。
【例 9】 小王每天用每小时15千米的速度骑车去学校，这一天由于逆风，开始三分之一路程的速度是每
小时10千米，那么剩下的路程应该以怎样的速度才能与平时到校所用的时间相同
【解析】由于要求大风天和平时到校时间所用时间相同，在距离不变的情况下，平时的15千米/小时相当
于平均速度.若能再把总路程“任我意”出来，在已知总距离和平均速度的情况下，总时间是可求的，例如假设总路程是30千米，从而总时间为30?15?2小时.开始的三分之一路程则为10千米，所用时间为10?10?1小时，可见剩下的20千米应用时1小时，从而其速度应为20千米/小时.
【例 10】 有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等。
某人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为4米/秒、6米/秒和8米/秒，求他过桥的平均速度。
【解析】 假设上坡、走平路及下坡的路程均为24米，那么总时间为：24÷4+24÷6+24÷8=13（秒），过桥的
7平均速度为24?3?13?5（米/秒）．
13【巩固】 有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等.某
人骑电动车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为11米／秒、22米／秒和33米／秒，求他过桥的平均速度.
【解析】 假设上坡、平路及下坡的路程均为66米，那么总时间=66÷11+66÷22+66÷33=6+3+2=11（秒），过
桥的平均速度=66×3÷11=18（米/秒）
【巩固】 一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周. 在三条边上它每分钟分别爬行50cm，
20cm，40cm（如右图）.它爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？
【解析】 假设每条边长为200厘米，则总时间=200÷50+200÷20+200÷40=4+10+5=19（分钟），爬行一周的
11平均速度=200×3÷19=31（厘米/分钟）.
19【例 11】 （2007年4月“希望杯”四年级2试）赵伯伯为了锻炼身体，每天步行3小时，他先走平路，然
后上山，最后又沿原路返回．假设赵伯伯在平路上每小时行4千米，上山每小时行3千米，下山每小时行6千米，在每天锻炼中，他共行走多少千米？
【解析】 上山3千米/小时，平路4千米/小时，下山6千米/小时。假设平路与上下山距离相等，均为12
千米，则首先赵伯伯每天共行走12?4?48千米，平路用时12?2?4?6小时，上山用时12?3?4小时，下山用时12?6?2小时，共用时6?4?2?12小时，是实际3小时的4倍，则假设的48千米也应为实际路程的4倍，可见实际行走距离为48?4?12千米。
方法二：设赵伯伯每天走平路用a小时，上山用b小时，下山用c小时，因为上山和下山的路程相同，所以3b?6c，即b?2c．由题意知a?b?c?3，所以a?2c?c?a?3c?3．因此，赵伯伯每天锻炼共行4a?3b?6c?4a?3?2c?6c?4a?12c?4(a?3c)?4?3?12（千米），平均速度是12?3?4（千米/时）．
【例 12】 张师傅开汽车从A到B为平地（见下图），车速是36千米／时；从B到C为上山路，车速是
28千米／时；从C到D为下山路，车速是42千米／时. 已知下山路是上山路的2倍，从A到D
行程问题基础 题库教师版
