多元函数的极值及其求法
在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题. 与一元函数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切的联系. 下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题. 内容分布图示
★ 引例
★ 二元函数极值的概念 例1-3
★ 极值的充分条件 ★ 例4 ★ 例6
★ 例5 ★ 例7
★ 极值的必要条件
★ 求二元函数极值的一般步骤 ★ 求最值的一般步骤
★ 例8
★ 例9
★ 例10
★ 例11
★ 例12
★ 例 16
★ 条件极值的概念 ★ 拉格郎日乘数法
★ 例 13
*数学建模举例
★ 最小二乘法
★ 内容小结 ★ 习题6-6
内容提要：
一、二元函数极值的概念
★ 例 14
★ 例 15
★ 线性规划问题
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定义1 设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义, 对于该邻域内异于(x0,y0)的任意一点(x,y), 如果
f(x,y)?f(x0,y0),
则称函数在(x0,y0)有极大值；如果
f(x,y)?f(x0,y0),
则称函数在(x0,y0)有极小值; 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
定理1 (必要条件) 设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数, 且在点
(x0,y0)处有极值, 则它在该点的偏导数必然为零，即 fx(x0,y0)?0,fy(x0,y0)?0. (6.1)
与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.
定理2 (充分条件) 设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有直到二阶的连续偏导数，又fx(x0,y0)?0,fy(x0,y0)?0.令
fxx(x0,y0)?A,fxy(x0,y0)?B,fyy(x0,y0)?C.
(1) 当AC?B2?0时，函数f(x,y)在(x0,y0)处有极值， 且当A?0时有极小值f(x0,y0)；A?0时有极大值f(x0,y0)；
(2) 当AC?B2?0时，函数f(x,y)在(x0,y0)处没有极值;
(3) 当AC?B2?0时，函数f(x,y)在(x0,y0)处可能有极值，也可能没有极值.
根据定理1与定理2，如果函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，则求z?f(x,y)的极值的一般步骤为：
第一步 解方程组fx(x,y)?0,fy(x,y)?0, 求出f(x,y)的所有驻点； 第二步 求出函数f(x,y)的二阶偏导数，依次确定各驻点处A、 B、 C的值，并根据AC?B2的符号判定驻点是否为极值点. 最后求出函数f(x,y)在极值点处的极值.
二、二元函数的最大值与最小值
求函数f(x,y)的最大值和最小值的一般步骤为: （1）求函数f(x,y)在D内所有驻点处的函数值; （2）求f(x,y)在D的边界上的最大值和最小值;
（3）将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值, 最小者即为最小值.
在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，可以判断出函数f(x,y)的最大值（最小值）一定在D的内部取得，而函数f(x,y)在D内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x,y)在D上的最大值（最小值）. 三、条件极值 拉格朗日乘数法
前面所讨论的极值问题，对于函数的自变量一般只要求落在定义域内，并无其它限制条件，这类极值我们称为无条件极值. 但在实际问题中，常会遇到对函数的自变量还有附加条件的的极值问题. 对自变量有附加条件的极值称为条件极值.
拉格朗日乘数法
设二元函数f(x,y)和?(x,y)在区域D内有一阶连续偏导数，则求z?f(x,y)在
D内满足条件?(x,y)?0的极值问题，可以转化为求拉格朗日函数
L(x,y,?)?f(x,y)???(x,y)
（其中?为某一常数）的无条件极值问题.
于是，求函数z?f(x,y)在条件?(x,y)?0的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为：
(1) 构造拉格朗日函数
L(x,y,?)?f(x,y)???(x,y)
其中?为某一常数;
(2) 由方程组
?Lx?fx(x,y)???x(x,y)?0,??Ly?fy(x,y)???y(x,y)?0, ??L???(x,y)?0解出x,y,?, 其中x, y就是所求条件极值的可能的极值点.
注：拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件, 因此按照这种方法求出来的点是否为极值点, 还需要加以讨论. 不过在实际问题中, 往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点.
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形:
四、数学建模举例 例题选讲：
二元函数极值的概念
例1（讲义例1） 函数z?2x2?3y2在点(0, 0)处有极小值. 从几何上看，
z?2x2?3y2表示一开口向上的椭圆抛物面，点(0,0,0)是它的顶点.（图7-6-1）.
例2（讲义例2）函数z??x2?y2在点(0,0)处有极大值. 从几何上看，
z??x2?y2表示一开口向下的半圆锥面，点(0,0,0)是它的顶点.（图7-6-2）.
例3（讲义例3）函数z?y2?x2 在点(0,0)处无极值. 从几何上看，它表示双曲抛物面（马鞍面）（图7-6-3）
例4（讲义例4）求函数f(x,y)?x3?y3?3x2?3y2?9x的极值. 例5 证明函数z?(1?ey)cosx?yey有无穷多个极大值而无一极小值. 二元函数的最大值与最小值
例6（讲义例5）求函数f(x,y)?x2?2xy?2y在矩形域
D?{(x,y)|0?x?3,0?y?2}
上的最大值和最小值.
例7 求二元函数z?f(x,y)?x2y(4?x?y)在直线x?y?6, x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.
例8 求函数f(x,y)?3x2?3y2?x2在区域D:x2?y2?16上的最小值. 例9 求z?x?yx?y?122的最大值和最小值.
例10（讲义例6）某厂要用铁板做成一个体积为2m3的有盖长方体水箱. 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省.
例11（讲义例7）设q1为商品A的需求量, q2为商品B的需求量, 其需求函数分别为q1?16?2p1?4p2,q2?20?4p1?10p2,总成本函数为C?3q1?2q2，其中p1,p2为商品A和B的价格, 试问价格p1,p2取何值时可使利润最大?
例12 求函数u?xyz在附加条件
1/x?1/y?1/z?1/a(x?0,y?0,z?0,a?0) (1)
下的极值.
条件极值 拉格朗日乘数法
例13（讲义例8）求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.
例14（讲义例9）在经济学中有个Cobb-Douglas生产函数模型
f(x,y)?cxay1?a,式中x代表劳动力的数量, y为资本数量(确切地说是y个单位
资本), c与a(0?a?1)是常数, 由各工厂的具体情形而定. 函数值表示生产量.
现在已知某制造商的Cobb-Douglas生产函数是f(x,y)? 100xy,每个劳动力与每单位资本的成本分别是150元及250元. 该制造商的总预算是50000元. 问他该如何分配这笔钱用于雇用劳动力与资本，以使生产量最高. 例15（讲义例10）设销售收入R (单位:万元)与花费在两种广告宣传的费用
3414x,y(单位:万元)之间的关系为
R?200x100y? x?510?y利润额相当五分之一的销售收入, 并要扣除广告费用. 已知广告费用总预算金是25万元, 试问如何分配两种广告费用使利润最大?
例16 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c, 每台电视机的销售价格为
p, 销售量为x.假设该厂的生产处于平衡状态, 即电视机的生产量等于销售量.
根据市场预测, 销售量x与销售价格为p之间有下面的关系:
x?Me?ap (M?0,a?0) (1)
其中M为市场最大需求量, a是价格系数. 同时, 生产部门根据对生产环节的
分析, 对每台电视机的生产成本c有如下测算: c?c0?klnx (k?0,x?1), (2)
其中c0是只生产一台电视机时的成本, k是规模系数. 根据上述条件, 应如何
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 多元函数的极值及其求法素材 新人教A版选修2-2
