2024届物理竞赛复习题（三）角动量和刚体运动
时间：180分钟 分数：320分 大题数：8
第一题：悬挂杆的下滑（40pt）
匀质杆AB，质量为m，长为4l，A端用细绳OA系住，B端置于光滑水平面上。细绳长为l，无质量且不可伸长。初始时静止，O、A、B三点共线。求：
（1）杆开始运动的瞬间，质心的加速度和细绳的张力；
（2）当杆端A第一次运动到O点的正下方时，杆质心C的加速度和绳中张力。
第二题：磁场中的电刚体杆(40pt)
有一刚性匀质杆，质量为m，长度为l，杆绝缘，均匀带电，且带电量为q。将其置于光滑的刚性水平地面上，地面上方加有垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度大小为B。杆由直立开始下滑，滑至与竖直方向
夹角为?的位置。试求： （1）此时地面对杆的支持力N;
（2）分离时的夹角记为?0，求?0，并讨论分离能发生B需满足的条件； （3）当磁场满足B=
2????
??
√??，在杆分离瞬间，撤去磁场。试求出杆第一
次碰撞地面时的质心速度vc和自转角速度ω，并定性分析这以后杆的运动状态。（磁场产生的涡旋电场恰是以杆的质心为中心的同心圆，且忽略因杆的运动产生的磁场）
第三题：引力弹弓(40pt)
将宇宙飞船从地球发射至太阳系外有两种方案：一是直接在地球上以足够大的速度发射（即大于等于第三宇宙速度）；二是利用行星的引力场的作用使飞船发生偏转，使其获得额外的动量与能量，这样的加速方式称为引力弹弓。随着中国近年来航天技术的发展，中国宇航局拟发射“羲和号”深空探测卫星，对太阳系外围展开探测。其途中将利用火星的引力弹弓效应进行加速。设所有行星在同一平面内沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动，空气阻力与地球自转皆可忽略。试求： （1）按照方案一发射，在地球上所需要的最小发射速度va；
（2）按照方案二发射，脱离地球引力场的方向与（1）相同，且恰好能
与火星相遇，利用引力弹弓加速后，速度沿火星轨道切向，试求最小发射速度vb。
可能用到的数据：引力常量
G?6.67?10?11N?m2/kg2 地球质量
Me?5.67?1024kg
太阳质量
Ms?1.99?1030kg 地球半径
Re?6.37?106m 地球轨道半径
re?1.5?1011m
火星轨道半径 rm?2.28?1011m
第四题：蒸汽机飞球调速器的振动(40pt)
蒸汽机的飞球调速器是由两个质量为m的球通过4根长为l的杆，与套在竖直轴的上下两个套筒铰接而成，上面的套筒国定，下面的套筒可以沿竖直轴无摩擦自由滑动，且下面套筒质量为M。整个装置绕竖直轴转动。忽略杆的质量和套筒的转动惯量。
（1）当系统绕竖直轴以?0恒定角速度绕竖直轴转动时，求平衡时上下两个套筒之间的距离;
（2）在（1）的条件下求下面套筒在平衡位置附近振动的频率； （3）当系统不受外力矩即角动量守恒时，下面套筒在平衡位置振动的频率（系统在未受到微扰之前仍以?0绕竖直轴稳定转动）。
第五题：振动的小圆柱(40pt)
一个半径为r、质量为m的均质实心小圆柱被置于一个半径为R、质量为M的薄壁圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如图所示。重力加速度大小为g。试在下述两种情况中，求小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动频率：
（1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内部无滑动滚动；
（2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在筒内底部做无滑动滚动。
第六题：流浪地球计划（40pt）
2075年，太阳将发生氦闪，急剧衰老膨胀的太阳将吞噬整个太阳系，为了自救，人类提出与地球共同逃离太阳系的计划，史称“流浪地球”计划。人类倾尽全球之力，在地球上建立上万座发动机和转向发动机，计划推动地球脱离地球轨道，飞向半人马座比邻星。此时人类已经可以实现重核聚变，行星发动机采用石头中广泛存在的硅元素向铁元素聚变以提供能量来源，并将聚变后产生的铁作为工质全部喷向宇宙，推动地球加速至0.005c（即千分之五光速）。
（1）由于地球大气的散热作用和行星发动机的自身局限性，聚变产生的能量只有10%转化为工质的动能，试求地球从公转速度达到目标速度需要消耗掉的地球质量；
（2）地球飞经木星时，被木星引力捕获，由于某些摄动，地球近似以圆轨道绕木星飞行。假设地球为刚性星体（所有质量仅靠重力结合，星体本身不发生除破裂以外的形变），由于木星引力对地球向木面和背木面的不均匀性，将导致地球受到引力撕扯，在某一极限半径以内，地球将被裂解，这一极限半径被称为“洛希极限”，试求此时地球的洛希极限，并与木星半径对比，检验地球是否会在接触木星前被撕裂。（?需要考虑地球自转的影响，假设地球与木星此时处于潮汐锁定状态，即公转角速度与自转角速度相等?此时发动机消耗的地球质量非常小，可以忽略）
可能用到的数据：硅原子质量 ??????=28.0855?? 铁原子质量 ??????=55.845??
地球半径 ????=6.371×106?? 木星半径 ????=1.43×108??
地球平均密度 ????=5.507×103????/??3 木星平均密度 ????=1.236×103????/??3 地球轨道半径 re?1.5?1011m
太阳质量 Ms?1.99?1030kg
第七题：人造卫星的消旋(40pt)
人造卫星绕星球运行的过程中，为了保持其对称轴稳定在规定指向，一种最简单的办法就是让卫星在其运行过程中间同时绕自身的对称轴旋转。但有时为了改变卫星的指向，又要求减慢或消除卫星的旋转。减慢或消除旋转的一种方法为下图所示的“YOYO消旋法”。设卫星是一半径为R、质量为M的薄壁圆筒，其横截面如图所示。图中O是圆筒的对称轴。两条足够长的不可伸长的结实的长度相等的轻绳的额一端分别固定在圆筒表面上的Q、Q’（位于圆筒的直径两端）处，另一端各拴有一质量为m/2的小球。正常情况下，绳绕在圆筒外表面上，两小球用插销分别锁定在圆筒表面上的P0、P?0处，与卫星形成一体，绕卫星的对称轴旋转。卫星自转角速度为?0。若要让卫星消旋，则可瞬间撤去插销释放小球，
让小球从表面被甩开，在甩开的整个过程中，从绳与圆筒表面的切点到小球的那段绳子总是拉直的。当卫星转速减小到零时，将绳将立即与卫星分离，把小球甩出去，卫星则保持零角速度继续运行。根据设计，已知此时的绳与圆筒的连接点恰好在Q、Q’处。试求： （1）当卫星角速度减至?时绳拉直部分的长度； （2）绳的总长度L；
（3）卫星从?0到停转所用的时间t。
第八题：旋转曲面上的小球振动(40pt)
假设旋转曲面的柱坐标方程是z?f???，z轴竖直向上为正。一质点在曲面上稳定地绕轴转动，给予其一个沿曲面子午线方向的微扰，使其在平衡位置附近做微振动。（重力加速度为g） （1）若率?1；
（2）试推导对于f???普遍成立的角频率公式（已知稳定半径为a），并求使其成立函数应满足的条件。
a2?2??4f????2a3，当平衡位置满足??a的时候，试求微振动的角频
2024届物理竞赛复习题(三)角动量和刚体运动
