2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题
（说明：本试卷满分200分，共10道填空题，5道解答题.题目的答案请写在答题纸上.）
一、填空题（每题8分，共80分）
1.设r为方程x?x?3?0的解，则以r2为其解的首项系数为1的整系数-元三次方程为 . 32.已知f(a)?min{x?2x?1}，则f(a)在[?1,1]上的最大值为 .
x?[a,a?1]23.某竹竿长为24米，一端靠在墙上，另一端落在地面上.若竹竿上某-节点到墙的垂直距离和到地面的垂直距离都是7米，则此时竹竿靠在墙上的端点到地面的垂直距离为 米，或 米. 4.设x?R，则y?sinx的最大值为 .
2?cosx5.在四面体P?ABC中，棱PA,AB,AC两两垂直，且PA?AB?AC，E,F分别为线段AB,PC的中点，则直线EF与平面PBC所成角的正弦值为 .
6.设平面上不共线的三个单位向量a,b,c，满足a?b?c=0.若0?t?1，则|?2a?tb?(1?t)c|的取值范围为 .
7.设z为复数，且|z|?1.当|1?z?3z?z?z|取得最小值时，则此时复数z? ，或 . 8.已知由6个正整数组成的六位十进制数中，其个位上的数字是4的倍数，十位和百位上的数字都是3的倍数，且六位数的数码和为21，则满足上述条件的六位数的个数为 .
9.一个正整数若能写成20a?8b?27c（a,b,c为非负整数）形式，则称它为“好数”.则集合{1,2,中好数的个数为 . 10.设i1,i2,234,200},in是集合{1,2,,n}的-个排列.如果存在k?l且ik?il，则称数对(ik,il)为一个逆序，排列
中所有逆序数对的数目称为此排列的逆序数.比如，排列1432的逆序为43，42，32，此排列的逆序数就是3.则当n?6时，且i3?4的所有排列的逆序数的和为 . 二、解答题（共五题，11～13各20分，14、15各30分，合计120分） 11.已知数列{an}，且a1?项和为Sn.
（1）求数列{an}的通项公式；
2?1，1an?n1?1?(n?2,3,)，令bn?，记数列{bn}的前nannan?1?n?1第 1 页 共 7 页
（2）若对任意的n?N?，n?2??(Sn?1)?n?101恒成立，求实数?的取值范围. 12.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为积为
3，且椭圆C的任意三个顶点构成的三角形面21. 2（1）求椭圆C的方程；
（2）若过P(?,0)的直线l与椭圆交于相异两点A,B，且AP?2PB，求实数?的范围.
13.已知函数f(x)?|x?1|e?1x?a.
（1）若f(x)?0恰有三个根，求实数a的取值范围；
（2）在（1）的情形下，设f(x)?0的三根为x1,x2,x3，且x1?x2?x3，证明x2?x1?a.
14.设正整数n?3， 已知n个数a1,a2,,an，记两两之和为bij?ai?aj(i?j)，得到如下表格：
b21 b31 b32 ……………………… bn1 bn2…………………bn,n?1 若在上述表格中任意取定k个数，可以唯一确定出n个数a1,a2,
1202012020ambn222215.设{ai},{bj}为实数列，证明??2(?am)(?bn). 2m,n?1(m?n)m?1n?12020,an，求k的最小值.
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2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题答案
一、填空题（每题8分，共80分） 1.x?2x?x?9?0 2.?1
3.16?42（每个答案给4分，满分8分）
324.
3 35.
1 3526.[,7]
7.z??8.126 9.153
115?i （每个答案给4分，满分8分） 4410.912
二、解答题（共五题，11-13各20分，14、15各30分，合计120分） （解答题严格按照上述标准给分，分数整5整10，不给其他过度分数.） 11.已知数列{an}，且a1?项和为Sn.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若对任意的n?N?，n?2??(Sn?1)?n?101恒成立，求实数?的取值范围. 【解析】：（1）由数学归纳法证明得an（2）由于bn2?1，1an?n1?1?(n?2,3,)，令bn?，记数列{bn}的前nannan?1?n?1?n?1?n. ……（5分）
?n?1?n，得Sn?n?1?1， ……（10分）
n?2100????n?1， n?1n?1第 1 页 共 7 页
由n?2??(Sn?1)?n?101得到
2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题及参考答案
