纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形
式考查并占有一定的分值；一般在10分－15分左右，圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；利用圆的知识与其他知识点如代数函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位，另外与圆有关的实际应用题，阅读理解题，探索存在性问题仍是热门考题，应引起读者的注意.下面究近年来圆的有关热点题型，举例解析如下，以抛砖引玉. 一、圆的性质的考查 基础知识链接：（1）垂径定理；（2）同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关系. 【例1】（江苏镇江）如图，AB为⊙O直径，CD为弦，且CD?AB，垂足为H． （1）?OCD的平分线CE交⊙O于E，连结OE．求证：E为弧ADB的中点； （2）如果⊙O的半径为1，CD?①求O到弦AC的距离；
3，
A C B
1②填空：此时圆周上存在个点到直线AC的距离为．
2【解析】（1）QOC?OE，??E??OCE 又?OCE??DCE，??E??DCE．
O E H D ?OE∥CD．
又CD?AB，??AOE??BOE?90o．
?E为弧ADB的中点．
（2）①QCD?AB，AB为⊙O的直径，CD?3，
13． ?CH?CD?223CH3?2?又OC?1，?sin?COB?． OC12??COB?60o， ??BAC?30o．
作OP?AC于P，则OP?②3.
【点评】 本题综合考查了利用垂径定理和勾股定理及锐角三角函数求解问题的能力.运用垂
11OA?． 22径定理时，需添加辅助线构造与定理相关的“基本图形”.
几何上把圆心到弦的距离叫做弦心距,本题的弦心距就是指线段OD的长.在圆中解有关弦心距半径有关问题时,常常添加的辅助线是连半径或作出弦心距,把垂径定理和勾股定理
?a?结合起来解题.如图,⊙O的半径为r,弦心距为d,弦长a之间的关系为r?d???.根
?2?222据此公式,在a、r、d三个量中,知道任何两个量就可以求出第三个量.平时在解题过程中要善于发现并运用这个基本图形.
【例2】 （安徽芜湖）如图，已知点E是圆O上的点，
B、C分别是劣弧AD的三等分点，?BOC?46o，
则?AED的度数为．
【解析】由B、C分别是劣弧AD的三等分点知，圆心角∠AOB=∠BOC=∠COD, 又?BOC?46o，所以∠AOD=138o.
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。从而有?AED＝69o. 点评 本题根据同圆或等圆中的圆心角、圆周角的关系。 二、直线与圆的位置关系的考查
基础知识链接：1、直线与圆的位置关系有三种:
⑴如果一条直线与一个圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离.
⑵如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么就说这条直线与这个圆相切,此时这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点.
⑶如果一条直线与一个圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交,此时这条直线叫做圆的割线,这两个公共点叫做交点. 2、直线与圆的位置关系的判定； 3、圆的切线的性质与判定。
【例3】（甘肃兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE?CD，垂足为E，DA平分?BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若?DBC?30o，DE?1cm，求BD的长．
O A E D B
C 【解析】（1）证明：连接OA，QDA平分?BDE，??BDA??EDA． QOA?OD，??ODA??OAD．??OAD??EDA． ?OA∥CE．
QAE?DE，??AED?90o，?OAE??DEA?90o．
?AE?OA．?AE是⊙O的切线．
（2）QBD是直径，??BCD??BAD?90o．
A E D Q?DBC?30o，?BDC?60o，??BDE?120o． QDA平分?BDE，??BDA??EDA?60o．
B O C ??ABD??EAD?30o．
在Rt△AED中，?AED?90o，?EAD?30o，?AD?2DE． 在Rt△ABD中，?BAD?90o，?ABD?30o，?BD?2AD?4DE．
QDE的长是1cm，?BD的长是4cm．
【点评】证明圆的切线，过切点的这条半径为必作辅助线.即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【例4】（广东茂名）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连结AD、BD． （1）求证：∠ADB=∠E；
（2）当点D运动到什么位置时，DE是⊙O的切线？请说明理由． （3）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径．（4分） 【解析】（1）在△ABC中，∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C．
∵DE∥BC，∴∠ABC=∠E， ∴∠E=∠C． 又∵∠ADB=∠C， ∴∠ADB=∠E．
（2）当点D是弧BC的中点时，DE是⊙O的切线．
理由是：当点D是弧BC的中点时，则有AD⊥BC，且AD过圆心O． 又∵DE∥BC，∴ AD⊥ED．
ABE
OCDABEOCDABOFC∴ DE是⊙O的切线．
（3）连结BO、AO，并延长AO交BC于点F， 则AF⊥BC，且BF=
1BC=3． 2又∵AB=5，∴AF=4．
设⊙O的半径为r，在Rt△OBF中，OF=4－r，OB=r，BF=3， ∴ r解得r＝
2＝32＋（4－r）2
2525，∴⊙O的半径是． 88【点评】 本题综合运用了等腰三角形的性质，圆的切线判定，解题最关键是抓住题中所给的已知条件，构造直角三角形，探索出不同的结论. 三、圆与圆的位置关系的考查
基础知识链接：如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,如图(1)、(2)、(3)所示．其中(1)又叫做外离,(2)、(3)又叫做内含．(3)中两圆的圆心相同,这两个圆还可以叫做同心圆．
如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,如图(4)、(5)所示．其中(4)又叫做外切,(5)又叫做内切．
如果两个圆只有两个公共点,那么就说这两个圆相交,如图(6)所示．
【例5】 （甘肃兰州）．如图是北京奥运会自行车比赛项目标志， 则图中两轮所在圆的位置关系是（ ） A．内含 B．相交 C．相切 D．外离
【解析】 图中的两圆没有公共点，且一个圆上的所有点都在另一个圆的外部，故两圆外离，选D.
【点评】圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含．其关系可以用圆与圆的公共点的个数及点与圆的位置关系来判定, 也可以用数量关系来表示圆与圆的位置关系： 如果设两圆的半径为 r1、r2,两圆的圆心距为d,则圆与圆的位置关系与数量关系如下表
【例6】（赤峰市）如图（1），两半径为r的等圆⊙O1和⊙O2相交于M，N两点，且⊙O2过点O1．过M点作直线AB垂直于MN，分别交⊙O1和⊙O2于A，B两点，连结NA，NB． （1）猜想点O2与⊙O1有什么位置关系，并给出证明； （2）猜想△NAB的形状，并给出证明；
（3）如图（2），若过M的点所在的直线AB不垂直于MN，且点A，B在点M的两侧，那么（2）中的结论是否成立，若成立请给出证明．
N
【解析】解：（1）O2在eO1上 O1 O2 O1 N N O2 B A M 图（2） A M 图（1）
B O1 O2 A? OO?r． B 证明：∵⊙O2过点O1，M 12图（1）
又⊙O1的半径也是r，?点O2在⊙O1上． （2）△NAB是等边三角形
证明：QMN?AB，??NMB??NMA?90o．
?BN是⊙O2的直径，AN是⊙O1的直径，
即BN?AN?2r，O2在BN上，O1在AN上． 连结O1O2，则O1O2是△NAB的中位线．
O1 N O2 B A
M 图（2）
?AB?2O1O2?2r．
?AB?BN?AN，则△NAB是等边三角形．
（3）仍然成立．
中考数学总结复习冲刺练 圆的基本题型聚焦
