第三节导数与函数的极值、最值
一、基础知识批注——理解深一点
1．函数的极值 (1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.
①函数f?x?在x0处有极值的必要不充分条件是f′?x0?＝0，极值点是f′?x?＝0的根，但f′?x?＝0的根不都是极值点?例如f?x?＝x3，f′?0?＝0，但x＝0不是极值点?.
②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
二、常用结论汇总——规律多一点
(1)若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
(3)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
三、基础小题强化——功底牢一点
?一?判一判?对的打“√”，错的打“×”?
(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．( )
(2)在指定区间上极值可能有多个，也可能一个也没有，最大值最多有1个．( ) (3)函数的极大值不一定比极小值大．( )
(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (二)选一选
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1．已知函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点有( )
A．1个 C．3个
B．2个 D．4个
解析：选A 导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个．
所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．
2．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( ) A．－4 C．4
B．－2 D．2
解析：选D 由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x＜－2或x＞2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.
x
3．函数y＝x在[0,2]上的最大值是( )
e1A. eC．0
解析：选A 易知y′＝
2 B.2
e1 D.
2e
1－x
，x∈[0,2]，令y′≥0，得0≤x≤1；令y′<0，得1 所以函数y＝x在[0,1]上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以y＝x在[0,2]上的最大值是 ee1 y|x＝1＝. e (三)填一填 4．函数f(x)＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________． 2 解析：f′(x)＝6x2－4x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝. 32?8∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，f?＝－，f(2)＝8. ?3?27∴函数f(x)＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是8. 答案：8 π 0，?上的极大值点是________． 5．函数f(x)＝x＋2cos x在区间??2? 第 2 页 共 13 页 πππ 0，?.令f′(x)＝0，解得x＝，则当x∈?0，?时，解析：f′(x)＝1－2sin x，x∈??2??6?6ππ?π ，时，f′(x)<0，故函数f(x)＝x＋2cos x的极大值点是. f′(x)>0；当x∈??62?6 π 答案： 6 考点一 利用导数解决函数的极值问题 考法(一) 利用导数求函数的极值或极值点 [典例] (2018·天津高考改编)设函数f(x)＝(x－t1)·(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列． (1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若d＝3，求f(x)的极小值点及极大值． [解] (1)由已知，可得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＝x3－x，故f′(x)＝3x2－1.因此f(0)＝0，f′(0)＝－1. 因此曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)(x－0)，故所求切线方程为x＋y＝0. (2)由已知可得 f(x)＝(x－t2＋3)(x－t2)(x－t2－3) ＝(x－t2)3－9(x－t2) 3＝x3－3t2x2＋(3t22－9)x－t2＋9t2. 故f′(x)＝3x2－6t2x＋3t22－9. 令f′(x)＝0，解得x＝t2－3或x＝t2＋3. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (－∞，t2－3) ＋ t2－3 0 极大值 (t2－3，t2＋3) － t2＋3 0 极小值 (t2＋3，＋∞) ＋ 所以函数f(x)的极小值点为x＝t2＋3，极大值为f(t2－3)＝(－3)3－9×(－3)＝63. [解题技法] 求函数的极值或极值点的步骤 (1)求导数f′(x)，不要忘记函数f(x)的定义域； (2)求方程f′(x)＝0的根； 第 3 页 共 13 页
2020届高考数学一轮复习通用版讲义导数与函数的极值、最值
