专题07 平面向量
向量是联系数与形的纽带，亦是高考的必考点，考查内容主要为；平面向量的概念，基本运算及综合运用。体现现考生的逻辑推理、数学运算、直观想象等的核心素养。此类问题在高考中多为中档题。
1.（2017新课标Ⅱ）已知?ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA?(PB?PC)的 最小值是
34 C．? D．?1 23【解析】如图，以BC为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系，
A．?2 B．?yA
BDPCx则 A(0,3)，B(?1,0)，C(1,0)，设P(x,y)，
所以 PA?(?x,3?y)，PB?(?1?x,?y)，PC?(1?x,?y)， 所以 PB?PC?(?2x,?2y)，
PA?(PB?PC)?2x2?2y(3?y)?2x2?2(y?3233)?≥?， 222当P(0,33?时，所求的最小值为，故选B． )22【名师点睛】本题运用坐标法来处理问题，即建立坐标系，将向量坐标化，进而将问题代数化，运用配方法求出最值。在问题中所给的图形如：正三角形，等腰三角形、正方形、平行四边形等，建系较为方便，可考虑将向量问题坐标化解决。
1．（2019河南省天一大联考）已知矩形A．-2 【答案】B
【解析】设为对角线得所以
.因为
和
的中点，则，
B．-3
的对角线长为4，若C．-4
D．-5
，则（ ）
，，
.由，
.
【点评】本题考查向量的运算，解法借助基底思想，化为基底完成运算，也可考虑坐标法。
1．（2014新课标2）设向量a,b满足|a+b|=10，|a?b|=6，则a?b? A．1 B．2 C．3 D．5 【解析】由(a?b)?10 ①，(a?b)?6 ②， ①?②得a?b?1．故选A
【点评】向量的数量积是全国高考的热点，理解向量数量积的概念，进而灵活运用性质和运算，是解决此类问题的关键。
2． (2018天津)如图，在平面四边形ABCD中，AB?BC，AD?CD，?BAD?120?，
22AB?AD?1． 若点E为边CD上的动点，则AE?BE的最小值为
A．
[来源学。科。网]
213 B． 162C C．
25 16 D．3
EDAB
【解析】解法一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图的平面直角坐标系，
yCE
DABx因为在平面四边形ABCD中，AB?AD?1，?BAD?120?， 所以A(0,0)，B(1,0)，D(?13,)，设C(1,m),E(x,y)， 22所以DC?(,m?32313)，AD?(?,)， 22232313)?(?,)?0， 222因为AD?CD，所以(,m?即
3133?(?)?(m?)?0，解得m?3，即C(1,3)， 22223≤y≤3，由kCE?kCD， 2因为E在CD上，所以
33?y2，即x?3y?2， 得?11?x1?23?因为AE?(x,y)，BE?(x?1,y)，
所以AE?BE?(x,y)?(x?1,y)?x2?x?y2?(3x?2)2?3y?2?y2
?4y2?53y?6，令f(y)?4y2?53y?6，y?[3,3]． 2因为函数f(y)?4y2?53y?6在[35353,] 上单调递减，在[,3]上单调递增， 288所以f(y)min?4?(5325321)?53??6?． 8816所以AE?BE的最小值为
21，故选A． 16解法二：（基底法，以AB,AD为基底），因为AE?AD?DE,BE?BD?DE， 又BD?2ADcos300?3，所以AE?BE?(AD?DE)(BD?DE)
2?AD?BD?AD?DE?DE?BD?DE
?1?3cos300?0?DE?3cos1200?DE2 ?DE2?33322121DE??(DE?)?? 2241616【点评】本题运用两种方法求向量积的最值，但基本思想都是最终用某一个或两个量来表示问题，从而完成最值的求解。解法二运用基底表示求解向量，也是一个通法。
1．（2019毛坦厂中学联考）已知向量A． 【答案】A
【解析】由题意得，解得
.故选:A.
，
B．
，C．
，若
D．
，则（ ）
，，
2．（2019莱芜市一模）已知向量A．
B．
，C．
，且
D．
，则
（ ）
【答案】D 【解析】向量=（
，||=
，且
，可得
，
，
.故选：D．
3．（2019黄山市质检）已知向量A． 【答案】D 【解析】因为
因此在方向上的投影为
，所以
，选D.
B．
满足
C．
，且
D．
，则在方向上的投影为（ ）
4．（2019玉溪市调研）若向量A． 【答案】B 【解析】设向量所以
B．
的夹角为，且
C．
，，则向量D．
与向量的夹角为（ ）
与的夹角为，因为的夹角为，且，， ，
所以
，又因为
，所以
的边长为2，
，故选B
，
[来源:Zxxk.Com]
5．（2019东北三省三校二模）已知菱形则A．3 【答案】D
[来源学科网ZXXK]，点，分别为，的中点，
（ ）
B．1
的中点 所以
;
,
的边长为2,所以
＝
＝
,又因为
=
，且其夹角为，则“
，运用数量积公式，可求
故本题选D。
”是“
”的 ＝
C．
D．
【解析】点为
点F为CD的中点，所以 =因为菱形
=
6．（2019头沟区模拟）已知向量，满足
A．充分不必要条件 C．充分必要条件 【答案】C 【解析】(1)由
得：
，且其夹角为；
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
；
专题07 平面向量-2019年高考数学总复习巅峰冲刺(解析版)
