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基于MH算法的贝叶斯分位自回归模型
作者：曾惠芳 朱慧明 李素芳 虞克明
来源：《湖南大学学报·自然科学版》2010年第02期
摘要:针对时间序列分布特征多样性的问题,不考虑序列本身的分布特征而选择非对称Laplace分布的似然函数对模型进行贝叶斯分位回归分析。利用Metropolis-Hastings算法模拟参数的后验边缘分布,解决了参数估计过程遇到的高维数值积分的问题。仿真分析中,参数的迭代轨迹是收敛的,说明MH抽样有效地模拟了参数的后验边缘分布;并且应用该方法估计出了不同分位数下模型参数的后验均值,标准差,MC误差和95%的置信区间。非对称和局部持续性数据的数值模拟,证实了贝叶斯分位自回归模型可以更全面有效地描述滞后变量对响应变量变化范围和条件分布形状的影响。
关键词:时间序列分析;分位数;AR模型;贝叶斯方法;仿真 中图分类号:O212.8 文献标识码:A
Bayesian Inference on the Quantile Autoregressive Models with Metropolis-hastings Algorithm ZENG Hui-fang1+, ZHU Hui-ming1, LI Su-fang1, YU Ke-ming2
(1.College of Business Administration, Hunan Univ, Changsha,Hunan410082, China; 2. Department of Mathematical Science, Brunel Univ, London UB8 3PH, UK)
Abstract:The distribution feature of time series could not always be described easily, due to its diversity, the likelihood function based on the asymmetric Laplace distribution was employed irrespective of the original distribution of the data. To carry out Bayesian inference on the quantile autoregression, the Metropolis-Hastings algorithm was utilized to simulate the posterior marginal distribution of quantile autoregressive parameters,which resolved the difficulties of the high dimension numerical integral. The simulation result shows that the MH algorithm is effective to simulate the posterior marginal densities because trace plots are convergence. The posterior mean, standard deviation, MC error and 95% posterior confidence interval of the quantile autoregressive parameters were estimated, which comprehensively describe how the lag variables influence on the location, scale and shape of the conditional distribution of the response.
Key words: time series analysis; quantile; AR models; Bayesian methods; simulation
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许多经济和金融时间序列收益率的分布呈现有偏性,厚尾性和多峰性,因变量不仅影响它们分布的位置,还会影响它们分布的尺度和形状。普通最小二乘法只能描述自变量对因变量均值的影响,而Koenker和Bassett提出的分位回归方法考虑了所有分位数下因变量对自变量的回归。因此,与只能描述自变量对因变量局部影响的普通最小二乘法相比,分位数回归更能精确地描述自变量对于因变量的变化范围以及条件分布形状的影响。
Koul和Saleh[1],Herce[2],Hasan和Koenker [3],Jureckova和Hallin [4]假设随机误差项独立同分布,研究了滞后变量对响应变量 条件分布位置的影响,但没有考虑对响应变量条件分布尺度和形状的影响。Enders 和Granger[5]研究发现经济时间序列常常呈现出非对称的变化过程,比如失业率的增长速度比下降速度要快,企业更倾向于提高价格而不是降低价格。Beaudry和Koop[6]研究美国GDP序列时发现正冲击所表现的持续性比负冲击强,并且存在局部持续性。Koenker 和 Xiao[7]提出了一种分位自回归模型,与常系数模型不同的是分位自回归模型的参数随着分位数 的变化而变化。分位自回归模型可以描述滞后变量对响应变量 条件密度曲线的位置、尺度和形状的影响,因此分位自回归模型比常系数模型能够更好地描述经济时间序列的非对称性和局部持续性的特征。
贝叶斯理论把参数看作随机变量,这样易于理解分位自回归模型的参数随着分位数 的变化而变化的思想,所以可以更好地解释不同分位数下滞后变量对响应变量变化范围和条件分布形状的影响。Yu 和Moyeed [8]应用非对称Laplace分布对分位回归模型进行了贝叶斯分析,并证明先验分布可以选择无信息先验分布。后来,Efthymios[9],Yu等[10]对贝叶斯分位回归模型做了进一步研究。目前,对分位自回归模型的估计仅限于频率统计方法。本文以非对称Laplace分布为似然函数,对分位自回归模型进行了贝叶斯推断,且利用MH算法对分位自回归模型进行了数值模拟,结果证明了贝叶斯方法可以有效地解决分位自回归模型的参数估计问题。
1模型结构分析
对任意实值随机变量 ,其所有性质都可以由 的分布函数 来刻画。对任意的 , 被称为 的 分位点,它完全刻画了随机变量 的性质。Koenker和Bassett于1978年提出了分位回归方法,是对传统分位点方法的一种扩展。对于线性回归模型 (1)
其中 是待估参数,误差项 互相独立同分布,且其均值为零方差有限。在给定 的情况下, 的条件分位函数为 (2)
为了估计在 分位水平下的参数 ,需要解决如下最优化问题
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(3)
其中 , 为示性函数。
随机系数自回归模型的系数是随机的且互相独立,若随机变量 服从 阶随机系数自回归模型,则可以表示为 (4)
其中 是常系数, , 分别是独立同分布的随机序列。而分位自回归模型属于随机系数自回归模型的一种特例,其系数依赖于同一个随机变量且相互具有函数依赖关系。考虑 阶自回归过程 (5)
其中 是随机变量, 是区间 上的未知实函数。若(5)式左边是关于 的单调递增函数,那么 的 条件分位函数为 (6)
其中 是由 产生的 -域,表示信息集,这样的模型称为分位自回归模型。为了简便起见,把(6)式表示为向量乘积形式 (7) 其中 ,
。在分位自回归模型中,参数随着分位水平 的变化而变化,因此该模型可以描述条件变量对响应变量 的条件分布的位置,尺度和形状的影响。
时间序列建模分析往往分为平稳时间序列和非平稳时间序列建模分析,而分位自回归模型在平稳时间序列和非平稳时间序列建模之间开辟了新的领域。如果时间序列 服从如下分位自回归过程 (8)
其中 , 。当 时,时间序列 表现为非平稳的时间序列;当 时,时间序列 表现为平稳的时间序列。由此看出,时间序列 表现为非对称性和局部性持续性,它是一种介于平稳和非平稳之间的非对称时间序列。
根据分位回归的思想,可以通过解决如下最优化问题实现分位自回归模型的估计
基于MH算法的贝叶斯分位自回归模型
