2024年中考数学人教版专题复习：反比例函数难点突破
一、考点突破
1. 理解并掌握反比例函数的图象性质及应用； 2. 理解并掌握反比例函数的面积关系； 3. 综合应用反比例函数解决实际问题。
二、重难点提示
重点：掌握反比例函数的图象性质。 难点：反比例函数的综合应用。 考点精讲
1. 反比例函数及其图象性质
k（k≠0）的函数叫反比例函数。 xk-1
表现形式：（1）y?（k≠0）；（2）xy=k（k≠0）；（3）y=kx（k≠0）。
x基本定义:形如y?[来源:学&科&网][来源:学.科.网][来源:学_科_网Z_X_X_K]
图象性质:
① 图象的形状：双曲线
k越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直；k越小，图象的弯曲度越大。
② 图象的位置和性质
与坐标轴没有交点，与两条坐标轴无限接近，但永远不相交。
来源学#科#网
当k＞0时，图象的两支分别位于一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； 当k＜0时，图象的两支分别位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。 ③ 对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（－a，－b）在双曲线的另一支上。图象关于直线y＝±x对称。 2. 反比例函数y?k（k≠0）中系数k的几何意义 xy轴作垂线段或连接原点时，过反比例函数图象上任意点向x、会形成相应的面积关系：
在计算时要根据具体图象注意k的符号。当反比例函数与一次函数综合时，要注意两个图象性质的结合，特别要注意一元二次方程知识的应用。
（1）S矩形OAPB＝|k|；（2）S△MON＝
1|k|；（3）S△ABM＝|k|； （4）S△ABC＝2|k| 2
来源:Zxxk.Com]
典例精析
例题1 如图，点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在双曲线y?k（x＞0）上，且x2-x1=4，xy1-y2=2，分别过点A、B向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为C、D、E、F，AC与BF相交于G点，四边形FOCG 的面积为2，五边形AEODB的面积为14，那么k的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
思路分析：根据S矩形AEOC=S矩形OFBD=
1（S五边形AEODB-S△AGB-S四边形FOCG）+S四边形FOCG，先求得2
S矩形AEOC和S矩形OFBD的值，利用k=AE?AC=FB?BD来求k的值。
答案：解：∵x2-x1=4，y1-y2=2，∴BG=4，AG=2，∴S△AGB=4，∵S矩形AEOC=S矩形OFBD，四边形FOCG的面积为2，∴S矩形AEOC=S矩形OFBD=（S五边形AEODB-S△AGB-S四边形FOCG）+S四边形FOCG=（14-4-2）+2=6即k=AE?AC=6，故选C。
技巧点拨：本题综合考查了反比例函数系数k的几何意义，本题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的k值。
例题2 水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下： 售价x （元/千克） 销售量y （千克） 来源学科网ZXXK]1212 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天 400 250 240 200 150 125 120 30 40 48 60 80 96 100 观察表中数据，发现这种海产品的每天销售量y（千克）是销售价格x（元/千克）的函数。且这种函数是反比例函数、一次函数中的一种。
（1）请你选择一种合适的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外一种函数的理由；
（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？
（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？
思路分析：（1）根据图中数据求出反比例函数，再分别将y=30和x=400代入，求出相对应的x和y；（2）先求出8天销售的总量和剩下的数量m，将x=150代入反比例函数中得到一天的销售量y，
m即为所需要的天数；（3）求出销售15天后剩余的数量除2得到后两y天每天的销售量y，将y的值代入反比例函数中即可求出x。
答案：解：（1）选择反比例函数，设y?k，得∵当x=400时，y=30，∴k=400×30=12000，x∴y关于x的函数关系式是y=
12000；不选另外一个函数的理由：点（400，30），（250，x48），（200，60）不在同一直线上，所以y不是x的一次函数。
12000=50千克；2 104（-30+40+48+50+60+80+96+100）=1 600，24012000即8天试销后，余下的海产品还有1 600千克．当x=150时，y==80，1 600÷80=20，
150（2）第四天的销售量为
所以余下的这些海产品，预计再用20天可以全部售出；
（3）80×15=1200，1600-1200=400，设新确定的价格为每千克x元，
12000×2≥400，解x得：x≤60，答：新确定的价格最高不超过每千克60元才能完成销售任务。
技巧点拨：本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式。
提分宝典
反比例函数与几何问题的综合应用
反比例函数与几何问题相结合除了常考查系数k的几何意义之外还经常和学过的其他知识点相结合，比如相似三角形等。解决本类题目时要抓住几何图形与函数图象的交点，综合运用涉及到的知识点。
【针对训练】（呼和浩特）如图，已知反比例函数y=
k（x＞0，k是常数）的图象经过点Ax（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C。
（1）写出反比例函数解析式； （2）求证：△ACB∽△NOM；
（3）若△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式。
来源学科网
k可得k的值，进而得到函数解析式；（2）根据A、xAC4?nB两点坐标可得AC=4-n，BC=m-1，ON=n，OM=1，则=，再根据反比例函数解析
ONnACACBC4BCm?1式可得=m，则=m-1，而=，可得=，再由∠ACB=∠NOM=90°，
ONOM1ONOMn思路分析：（1）把A点坐标代入y=
可得△ACB∽△NOM；（3）根据△ACB与△NOM的相似比为2可得m-1=2，进而得到m的值，然后可得B点坐标，再利用待定系数法求出AB的解析式即可。
答案：解：（1）∵y=
k（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），∴k=4，∴反比例x函数解析式为y=
4； xAC4?n=ONnACBCm?1ACBC444=-1，∵B（m，n）在y=上，∴=m，∴=m-1，而=，∴=，
ONOM1ONOMnxn（2）∵点A（1，4），点B（m，n），∴AC=4-n，BC=m-1，ON=n，OM=1，∴∵∠ACB=∠NOM=90°，∴△ACB∽△NOM；
4），设AB所在直34416416线解析式为y=kx+b，∴＝3k+b，4＝k+b，解得k＝?， b＝，∴解析式为y=-x+。
33333（3）∵△ACB与△NOM的相似比为2，∴m-1=2，m=3，∴B（3，
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