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第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第4课时
与差的正弦、余弦和正切公式
1. 计算：sin43°cos13°＋sin47°cos103°＝________．
1答案： 2
两角和
1
解析：原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝.
2
π3π
2. 已知cos?θ－?＝，θ∈?，π?，则cosθ＝________．
4?5??2?2
答案：－ 10
πππ3ππ4
解析：因为θ∈?，π?，所以θ－∈?，?，所以sin?θ－?＝，cosθ＝
4?44?4?5?2??ππ3ππππ2422
cos??θ－?＋?＝cos?θ－?·cos－sin?θ－?sin＝×－×＝－. 4104?4?452524?4?????
cos10°＋3sin10°
3. 计算：＝________．
1－cos80°
答案：2
cos10°＋3sin10°2cos（10°－60°）2cos50°解析：＝＝＝2.
2sin40°1－cos80°2sin240°
4. 当函数y＝sinx－3cosx(0≤x<2π)取得最大值时，x＝________．
5答案：π
6
π
解析：y＝sinx－3cosx＝2sin?x－?，由0≤x<2π，
3??
ππ5ππ5
得－≤x－<π，∴ 当x－＝，即x＝π时函数取得最大值．
333326
π7π4
5. 已知cos?α－?＋sinα＝3，则sin?α＋?＝________．
56?6???
4
答案：－
5
π4
解析：∵ cos?α－?＋sinα＝3，
56??
334413
∴ cosα＋sinα＝3，3?cosα＋sinα?＝3，
2252?2?5ππ443?sin?＋α??＝3，∴ sin?＋α?＝， ??6??5?6?5
7π4α＋π?＝－sin?＋α?＝－. ∴ sin??6?5?6?
π1π2
6. 已知tan(α＋β)＝，tan?β－?＝，那么tan?α＋?＝________．
54?44???
3
答案： 22
ππ
解析：因为α＋＋β－＝α＋β，
44
ππ
所以α＋＝(α＋β)－?β－?，
44??ππ
所以tan?α＋?＝tan[(α＋β)－?β－?]
4?4???
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π
tan（α＋β）－tan?β－?4?3?＝＝.
π?22?1＋tan（α＋β）tanβ－4??
π
7. 若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx，0≤x<，则f(x)的最大值为________．
2
答案：2
π
解析：f(x)＝(1＋3tanx)cosx＝cosx＋3sinx＝2cos?x－?，
3??
π
∴ 当x＝时，f(x)取得最大值为2.
3
8. (2013·无锡期末)设函数f(x)＝cos(3x＋φ)(0＜φ＜π)．若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________．
π答案： 6
解析：f′(x)＝－3sin(3x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)＝－
π
2sin?3x＋φ－?是奇函数，
6??
ππ
所以φ－＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z.又0＜φ＜π，
66
π
所以k＝0，φ＝.
6
1π
9. 已知函数f(x)＝2sin?x－?，x∈R.
6??3
5π
(1) 求f??的值；
?4?
ππ106
(2) 设α、β∈?0，?，f?3α＋?＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．
52??2?13?
解：(1) 由题设，知
π5π5ππ?
f??＝2sin?－＝2sin4＝2. ?4??126?
π10
(2) 由题设，知＝f?3α＋?＝2sinα，
13?2?π6
＝f(3β＋2π)＝2sin?β＋?＝2cosβ， 52??
53
即sinα＝，cosβ＝.
135
π124
又α，β∈?0，?，∴ cosα＝，sinβ＝，
1352??
1234516
∴ cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.
13551365
10. 已知向量a＝(m，sin2x)，b＝(cos2x，n)，x∈R，f(x)＝a·b，若函数f(x)的图象经
π
过点(0，1)和?，1?.
?4?
(1) 求m、n的值；
π
(2) 求f(x)的最小正周期，并求f(x)在x∈?0，?上的最小值；
4??
α?1?0，π?时，求tan?α＋π?的值． (3) 若f?＝，α∈?2?54?4???
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π
解：(1) f(x)＝mcos2x＋nsin2x，因为f(0)＝1，所以m＝1.又f??＝1，所以n＝1.
?4?故m＝1，n＝1.
π
(2) f(x)＝cos2x＋sin2x＝2sin?2x＋?，所以f(x)的最小正周期为π.
4??
ππ3πππ
因为x∈?0，?，所以2x＋∈?，?，所以当x＝0或x＝时，f(x)取最小值1.
4?444?4??
α?11
(3) 因为f?＝，所以cosα＋sinα＝， ?2?55
ππ2
即sin?α＋?＝.又α∈?0，?，
4?104???ππππ72故α＋∈?，?，所以cos?α＋?＝，
4?42?4?10?
π21
所以tan?α＋?＝＝.
4?727?
π
11. 已知函数f(x)＝2cos?ωx＋?(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.
6??
(1) 求ω的值；
55π616
5α＋π?＝－，f?5β－π?＝，求cos(α＋β)的值． (2) 设α、β∈?0，?，f?3?6?175?2???
2π1
解：(1) T＝＝10π，所以ω＝.
5ω
55ππ631
5α＋π?＝2cos??5α＋π?＋?＝2cos?α＋?＝－2sinα＝－，所以sinα＝. (2) f?3?3?6??552??5??55π1681?0，π?，5β－π?＝2cos??5β－π?＋?＝2cosβ＝，f?所以cosβ＝.因为α、β∈6?6?6??17172??5??4154831513
所以cosα＝，sinβ＝，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.
51751751785
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含答案)
