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生物统计学教案
第十章 一元回归及简单相关分析
教学时间：5学时 教学方法：课堂板书讲授
教学目的：重点掌握一元线性回归方程,掌握一元线性回归方程的检验和相关，了解
一元非线性回归和多元回归与相关。
讲授难点：一元线性回归方程的检验和相关
10.1 回归与相关的基本概念
函数关系：F＝ma
相关关系：单位面积的施肥量、播种量和产量；血压和年龄；胸径和高度；玉米的穗长和穗重；身高和体重。
相关：设有两个随机变量X和Y，对于任一随机变量的每一个可能的值，另一个随机变量都有一个分布与之相对应，称X和Y存在相关。
回归：对于变量X的每一个可能的值xi，都有随机变量Y的一个分布相对应，则称随机变量Y对变量X存在回归。X称为自变量，Y称为因变量。
条件平均数：当X＝xi时Y的平均数μY.X＝xi，称为条件平均数。 10.2 一元线性回归方程 10.2.1 散点图
例 不同NaCl含量对单位叶面积干物质的影响 NaCl含量X(g/kg土 0 壤)
干重Y(mg/dm)
2
0.8 90
1.6 95
2.4 115
3.2 130
4.0 115
4.8 135
从
80
. 资料. .. .
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上图虽可以看出Y对X的线性关系，但点子并不在一条直线上。
例 每一NaCl含量下干物质10次重复值 干重(mg/dm2)重复值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均值
80 100 75 89 91 79 101 85 83 79 86.2
90 85 107 93 103 92 78 105 93 85 93.1
95 89 115 92 115 120 95 95 105 98 101.9
115 94 103 110 113 108 121 110 108 111 109.3
130 106 103 110 128 131 117 121 114 116 117.6
115 125 128 143 132 121 129 112 120 130 125.5
135 137 128 127 155 132 148 117 134 132 134.5
0
0.8
NaCl含量(g/kg土壤) 1.6
2.4
3.2
4.0
4.8
如果增加每一NaCl浓度下的重复次数，用其平均值画成散点图，则点子直线化的程度要好得多。上表给出10次重复的平均值，从下图中可见，点子更接近在一条直线上。当以Y的条件平均数所做的散点图，则完全在一条上。
. 资料. .. .
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10.2.2 一元正态线性回归模型
xi和各xi上Y的条件平均数μy.x可构成一条直线：
μY＝α＋βX
对于变量X的每一个值，都有一个Y的分布，其平均数是上式所示的线性函数。对于随机变量Y：
Y＝α＋βX＋ε
ε：NID(0,σ2) Y：NID(α+βX,σ2) 上式称为一元正态线性回归模型。 10.2.3 参数α和β的估计
在实际工作中，我们是无法得到α和β的，只能得到它们的估计值a和b，从而得到一条估计的回归线：
??a?bX Y上式称为Y对X的回归方程，所画出的直线称为回归线。a是直线的截距，称为常数项；b是直线的斜率，称为回归系数。
对于因变量Y的每一个观测值yi： yi = a + bxi + ei
?i是对?Y?xi的估计，因此y?i也是平均数。 yi 的回归估计值y在各种离差平方和中，以距平均数的离差平方和为最小。因此我们就把ei =
n?i平方和为最小的直线作为最好的回归线。 yi-y2???L?y?y记这种方法称为最小二乘法。 ?ii,求出使L达到最小时的a和b，
i?1 . 资料. .. .
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为使L??i???yi?yi?1n2?2????y?a?bx达到最小，令： ?iii?1n??l?0???a???L?0???b
可以得到以下一组联立方程：
?n????2??yi??a?bxi???0?i?1?n???2?xi?yi??a?bxi???0???i?1
解该方程组，得到β的最小二乘估计：
b??xi?1niyi??x?yii?1i?1nnin????2?i?1n?n???xixi2??i?1n???xi?1nni?x??yi?y?i??xi?1?x?2
及a的最小二乘估计：
a?y?bx公式的分子部分称为X和Y的校正交叉乘积和，以SXY表示。分母部分称为X的校正平方和，以SXX表示。因变量Y的 平方和称为总平方和，以SYY表示。因此，b又可以表示为：
10.2.4 回归方程的计算
SXYb?SXX
. 资料. .. .
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X 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 4.8 和
由此得出回归方程：
X’=X-2.4 -2.4 -1.6 -0.8 0 0.8 1.6 2.4 0
X’
2
Y 80 90 95 115 130 115 135
Y’=Y-110 -30 -20 -15 5 20 5 25 -10
Y’
2X’Y’ 72 32 12 0 16 8 60 200
5.76 2.56 0.64 0 0.64 2.56 5.76 17.92
900 400 225 25 400 25 625 2600
0??10?200702SXX?SX?X??17.92?17.927?102SYY?SY?Y??2600?2595.717SXY200.00b???11.16SXX17.92SXY?SX?Y??200?a?y?bx?108.57?11.16?2.4?81.79??81.79?11.16XY回归系数的含义是：当自变量X每变动一个单位，因变量Y平均变动11.16个单位。
. 资料. .. .
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