????????b＝0，又a，b都是非零向量， 1．B；解：由|a＋b|＝|a－b|，两边平方并化简得a·
??所以a⊥b.
???x＋1－y－2＝0，??????2．A；解：设c＝(x，y)，由(c＋b)⊥a，(c－a)∥ b可得?
?y＋1＝2?x－1?，?
??x＝2，?解得?因此c＝(2,1)．
??y＝1.
uuuruuuruuur3．D；解：设C的坐标为(x，y)，则AC＝(x＋2，y－1)，BC＝(x，y－2)，AB＝(2,1)， uuuruuuruuuruuur??x＋2＝0，∵AC∥OB，BC⊥AB，∴?
??x＝－2，即?
?2x＋y－2＝0，?y＝6.??
??65a·bx1x2＋y1y22×?－4?＋3×765
4．；解：a在b方向上的投影为＝＝＝. 25|b|5x2?－4?2＋722＋y2
3105．；
10
???????b＝(3,3)·解：∵2b－a＝(－1,1)，∴2b＝(－1,1)＋a＝(2,4)．b＝(1,2)．∴a·(1,2)＝9.
??a·b22
又∵|a|＝3＋3＝32，|b|＝12＋22＝5，∴cos θ＝＝|a||b|
9310＝.
1032×5
??6．解：a＋tb＝(4，－3)＋t(2,1)＝(4＋2t，t－3)，
???b＝(4＋2t，t－3)·(a＋tb)·(2,1)＝2(4＋2t)＋t－3＝5t＋5，
??|a＋tb|＝?4＋2t?2＋?t－3?2＝5?t＋1?2＋20.
??????52b＝|a＋tb||b|cos 45°由(a＋tb)·，得5t＋5＝?t＋1?2＋4，
2
即t2＋2t－3＝0，所以t＝－3，或t＝1. 经检验知，t＝－3不合题意，所以t＝1.
?? 2.5 平面向量应用举例
1．C；解：速度的合成问题，运用向量的合成进行处理，逆风行驶的速度为v1＋v2
??uuuruuuur2．D；解：F1＋F2＝OF1＋OF2＝(2,2)＋(－2,3)＝(0,5)，∴|F1＋F2|＝5.
uuuruuuruuuruuuruuuuuuruuuruuuruuurrBC＝AO·3．B；解：AO·(AC－AB)＝AO·AC－AO·AB，
uuuruuuuuuruuurrr1uuuruuur1uuu因为OA＝OB，所以AO在AB上的投影为|AB|，所以AO·AB＝|AB|·|AB|＝2，
22
41 / 45
uuuruuur1uuuruuur9uuuruuur95
BC同理AO·AC＝|AC|·|AC|＝，故AO·＝－2＝.
2222
4．503 J；解：W＝|F|cos 30°·s＝10×
3
×10＝503 J. 2
5．－1或2；解：∵l的方向向量为(－2，m)，∴－2×1－m(1－m)＝0，∴m＝－1或2.
uuur?uuur?6．证明：设AD＝a，AB＝b，
r?1?3?uuuruuuruuur1uuu则DE＝AE－AD＝AC－a＝b－a，
444
r1?3?uuuruuuruuur?3uuuFB＝AB－AF＝b－4AC＝4b－4a，
uuuruuur所以DE＝FB，且D、E、F、B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形．
?? 3.1.1 两角差的余弦公式
1．C；解：原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.
2．C；解：cos 345°＝cos(360°－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝
2＋62321
×＋×＝. 22224
π31
3．C；解：∵cos(x－)＝m，∴cosx＋sinx＝m，∴3cosx＋sinx＝2m.
622
π333π
又cosx＋cos(x－)＝cosx＋sinx＝(3cosx＋sinx)，∴cosx＋cos(x－)＝3m.
3222311
4．；解：原式＝cos 42°cos(－18°)＋sin 42°sin(－18°)＝cos[42°－(－18°)]＝cos 60°＝. 221335．；解：∵cos(α－β)＝， ∴cos αcos β＋sin αsin β＝， 255
①
1
cos αcos β－sin αsin β＝. ②
5
1
21sin αsin β51
由①②知，cos αcos β＝，sin αsin β＝， ∴tan αtan β＝＝＝.
55cos αcos β22
512
6．解：由sin α＝，α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin2α＝－
133
又由cos β＝－，β为第二象限角，∴sin β＝
5
42 / 45
1－cos2β＝
1251－??2＝－. 1313
34
1－?－?2＝.
55
5312463
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(－)×(－)＋×＝.
13513565
?? 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3π43
1．A；解：由于sin α＝，且α∈(，π)，则cos α＝－，∴tan α＝－.
5254πtan α＋11
∴tan(α＋)＝＝.
41－tan α72．C；
解：∵sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin(α＋β－β)＝sin α＝0，∴sin(α＋2β)＋sin(α－2β) ＝sin αcos 2β＋cos αsin 2β＋sin αcos 2β－cos αsin 2β＝2sin αcos 2β＝0. 3．D；解：原式＝sin[60°＋(θ＋15°)]＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°) ＝－31
cos(θ＋15°)＋sin(θ＋15°)＋cos(θ＋45°) 22
＝sin(θ＋15°)cos 60°－cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋45°) ＝sin(θ－45°)＋cos(θ＋45°)＝0. 4．
1－tan 15°tan 45°－tan 15°33；解：原式＝＝＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝. 331＋tan 15°1＋tan 45°tan 15°
tan?α＋β?＋tan?α－β?3＋23π
5．；解：∵tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－1，
81－tan?α＋β?tan?α－β?1－3×2ππkπππ3π∴2α＝－＋kπ(k∈Z)，∴α＝－＋(k∈Z)．又∵α为锐角，∴α＝－＝. 4822886．解：原式＝tan 70°(cos 10°＋3sin 10°)－2cos 40° 3?1cos 10°?＝2tan 70° ＋sin 10°－2cos 40°
2?2?
＝2tan 70°(sin 30°cos 10°＋cos 30°·sin 10°)－2cos 40° ＝2tan 70°sin(30°＋10°)－2cos 40° sin 70°? ·sin 40°－cos 40°＝2??cos 70°?sin 70°sin 40°－cos 70°cos 40°
＝2· cos 70°－cos?70°＋40°?＝2· cos 70°
43 / 45
－cos 110°＝2·＝2.
cos 70°
?? 3.1 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
πππ
1．D；解：因为θ∈[，]，所以2θ∈[，π]，所以cos 2θ<0，
42211
所以cos 2θ＝－1－sin22θ＝－.又cos 2θ＝1－2sin2θ＝－，
8893
所以sin2θ＝，所以sin θ＝.
164
2．B；解：原式＝sin250°＋2sin 50°cos 50°＋cos250°－sin250°－2sin 50°cos 50°＋cos250° ＝sin 50°＋cos 50°－sin 50°＋cos 50°＝2cos 50°. 3．A；
3π?3397－x＝－cos x＝，∴cos x＝－ ，∴cos 2x＝2cos2x－1＝2×－1＝－. 解：∵sin??2?55252532tan x4
4．；解：∵tan x＝2，∴tan 2x＝＝－. 431－tan2x
π
sin?2x－?2－cos 2xππ13
tan 2(x－)＝tan(2x－)＝＝＝－＝.
42πsin 2xtan 2x4
cos?2x－?
25．
2π1＋tan α2；解：由tan(α＋)＝＝3＋22，得tan α＝， 241－tan α2
1－cos 2α2sin2α2∴＝＝tan α＝. sin 2α2sin αcos α2
2cos2α－12cos2α－12cos2α－1cos 2α
6．解：原式＝＝＝＝＝1.
πππcos 2αcos 2α2sin?－α?2sin?－α?·cos?－α?
444π
·cos2?－α?π4cos?－α?
4
?? 3.2 简单的三角恒等变换
ααα
1．B；解析：由2sin α＝1＋cos α，即4sincos＝2cos2，
222αααα1
当cos＝0时，tan 不存在，当cos≠0时，tan ＝.
22222
44 / 45
2．A；解：cos4x－sin4x＋2＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＋2＝cos2x－sin2x＋2＝cos 2x＋2. ∴T＝π.
24
3．C；解：α为第三象限角，且sin α＝－，
25
αα7
2sin21＋22251－cos α7α4
则cos α＝－，tan ＝＝＝＝＝－.
252αααsin α243
cos2sincos－22225
sin
π3ππxππ3π
4．[，]；解：y＝2cos2(－)＝1＋cos(－x)＝1＋sin x，∴递减区间为[，]．
22422224θθθ
5．－；解：由sin－2cos＝0，得tan ＝2，则tan θ＝
3222
4
＝－. θ3
1－tan2
2θ2tan
2
cos25°－sin25°cos 10°2sin 10°cos 10°cos 10°
6．解：原式＝－sin 10°×＝－ 2sin 10°sin 5°cos 5°2sin 10°sin 10°
＝＝
cos 10°－4sin 10°cos 10°cos 10°－2sin 20°
＝
2sin 10°2sin 10°cos 10°－2sin?30°－10°?3sin 10°3
＝＝.
2sin 10°2sin 10°2
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SL高中数学必修4三角函数平面向量三角恒等变换同步练习题精编详答
