ππ
4．f(x)＝2sin(x－)＋7；
44
??A＋B＝9，π
解：由条件可知?∴B＝7，A＝2. 又T＝2(7－3)＝8，∴ω＝，
4?－A＋B＝5，?
πππππ
令3×＋φ＝，∴φ＝－， ∴ f(x)＝2sin(x－)＋7.
424442π·a2π2π·a5．；解：T＝＝.
ggga
6．解：(1)白昼时间最长的一天，即D(t)取得最大值的一天，由
2ππ
(t－79)＝，得t＝3652
170.25，而t∈N，所以t＝170，对应的是6月20日(闰年除外)．类似地，t＝353时D(t)取得最小值，即12月20日白昼最短．
2π2π1
(2) D(t) > 10.5，即3sin(t－79)＋12>10.5，sin(t－79)>－，t∈[0,365]，
3653652π2π7π
∴－<(t－79)<，得49≤t≤291,291－48＝243，
63656∴约有243天的白昼时间超过10.5 h.
?? 2.1 平面向量的实际背景及基本概念
1．A；解：对于①，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，①正确；
????对于②，因为向量不能比较大小，②错误；对于③，由|a|＝|b|，只能说明a，b的长
度相等，确定不了它们的方向，③错误；对于④，因为零向量与任一向量平行，④错误．
ruuuruuu2．C；解：由BA＝CD知AB＝CD且AB∥CD即四边形ABCD为平行四边形．
uuuruuur又|AB|＝|AD|知四边形为菱形．
uuuruuur3．A；解：由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即CE＝EA.
4．平行(或共线)；解：平行向量主要考虑方向相同或相反，依题意可知，
????c，b同向或者反向，所以c与b必定平行(或共线)．
5．零向量；解：由零向量的规定知，只有零向量与任一向量都平行．
6．解：(1) ∵四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形，∴AB//ED，AB//DC.
uuurruuuruuuuuuruuuruuuuuuruuuruuurr从而AB＝ED，AB＝DC，∴ED＝DC. 故与向量ED相等的向量是AB，DC.
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uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur(2) 由共线向量的条件知，与ED共线的向量有DE，AB，BA，DC，CD，EC，CE.
?? 2.2.1～2.2.2 向量加法运算及其几何意义、向量减法运算及其几何意义
ruuuruuuuuuruuuruuuruuur1．D；解：∵AB＋BC＝AC，∴AB－BC＝AC不一定成立．
???????2．A；解：①当a与b不共线时成立；②当a＝b＝0，或b＝0，a≠0时成立；③当a与
?????b共线，方向相反，且|a|≥|b|时成立；④当a与b共线，且方向相同时成立．
3．B；解：由减法法则知B正确． 4．23；
uuuruuuruuuuuurruuur解：如右图，设菱形对角线交点为O，∵BC＋DC＝AD＋DC＝AC，∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形．又∵AB＝2，∴OB＝1.在Rt△AOB中，
uuuruuuruuuruuuruuur22
|AO|＝|AB|－|OB|＝3，∴|AC|＝2|AO|＝23. ??ruuuruuuruuur??uuuruuu5．b－c；解：EF＝OA＝CB＝OB－OC＝b－c.
ruuuruuuruuuuruuu6．解：(1)原式＝MB＋BM＋AC＝AC.
ruuuruuuruuuruuu(2)原式＝AB＋BD＋DC－AC
ruuuruuuruuurruuuruuu＝AD＋DC－AC＝AC－AC＝0.
?? 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
??????1?1．A；解：对于①，a＝－b；对于②，a＝－b；对于③，a＝4b；对于④，若a＝
2
???????λb(λ≠0)，则e1＋e2＝λ(2e1－2e2)，即(1－2λ)e1＋(1＋2λ)e2＝0，所以1－2λ＝1＋
??2λ＝0，矛盾，故④中a与b不共线．
???3x－4y＝6，?x＝6，
2．A；解：由原式可得?解得?所以x－y＝3.
?2x－3y＝3，???y＝3.
ruuur1uur?1?uuuruuuuruuu3．B；解：BE＝CE－CB＝BA＋BC＝b－a.
22
????????????4．8e2；解：3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e2.
????5．－4；解：∵向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，
????∴ka＋2b＝λ(8a＋kb)?k＝8λ，2＝λk
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?k＝－4(舍正根，∵方向相反时λ<0?k<0)．
6．解：如右图，连接AM并延长交BC于点D.∵M是△ABC的重心，
uuuur2uuur2uuuruuur2
∴D是BC的中点，且AM＝AD. ∴AM＝AD＝(AB＋BD)
333rrr2uuur2uuur21uuur1uuu2uuu2uuu??＝AB＋BD＝AB＋?2 BC ?＝AB＋BC
333333
ruuur1uuuruuur2??1??2uuu2?1?1?＝(OB－OA)＋(OC－OB)＝(b－a)＋(c－b)＝－a＋b＋c. 3333333
uuuruuuruuuur?211?1????∴OM＝OA＋AM＝a＋?－3a＋3b＋3c?＝(a＋b＋c)．
3
?? 2.3.1 平面向量基本定理
r1??uuur1uuuruuu1．D；解：AD＝(AB＋AC)＝(a＋b)．
22
ruuuuuur1uuur2．C；解：如图，∵AE＝(AO＋AD)，
2uuur1?uuuruuur1?1?ruuu且AO＝a，AD＝AO＋OD＝a＋b，
222
uuur11?1?1?1?1?∴AE＝(a＋a＋b)＝a＋b.
222224
ruuuruuu3．D；解：AD与CD的夹角为∠ADC＝150°，
uuuruuur????4．λ1λ2＝1；解：∵A，B，C三点共线，∴AB＝kAC (k≠0)．∴λ1a＋b＝k(a＋λ2b)＝???λ1＝k，???ka＋kλ2b，又∵a，b不共线，∴?∴λ1λ2＝1.
?1＝kλ2.?
??a＝e1＋2e2，21
5．、－；解：由?解得33?b＝－e1＋e2，?
?
?11?e＝3a＋3b.
2
12e1＝a－b，
33
???12??11?2??1??故e1＋e2＝?3a－3b?＋?3a＋3b?＝a＋?－3?b.
3
uuur?DC
6．解：如图，因为AB＝e2，DC∥AB且＝k，
AB
uuurruuuruuuuuuruuuruuur?所以DC＝kAB＝ke2，因为AB＋BC＋CD＋DA＝0，
uuurruuuruuuuuuruuuruuuruuur??所以BC＝－AB－CD－DA＝－AB＋DC＋AD＝e1＋(k－1)e2.
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?? 2.3.2～2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算
??1．B；解：3a－2b＝(9,3)－(－4,10)＝(13，－7)．
uuuruuurruuu2．A；解：AC＝AB＋BC＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．
???3．D；解：∵a－3b＋2c＝0，∴(－5,6)－(－9,6)＋(2x,2y)＝0，
???2x－5＋9＝0，?x＝－2，?即?∴?即c＝(－2,0)． ???2y＋6－6＝0，?y＝0
uuuruuuruuuruuur4．(0，－2)；解：在平行四边形ABCD中，OB＋OD＝OA＋OC，
uuuruuuruuuruuur∴OD＝OA＋OC－OB＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0，－2)，即D点坐标为(0，－2)．
uuur5．(2，11)；解：设B(x，y)，则AB＝(x＋1，y－2) ∴(x＋1，y－2)＝(3,9)
?x＋1＝3，?x＝2，??∴?即?∴点B的坐标为(2,11)． ??y－2＝9，y＝11.??
ur11uuu6．解：由已知两点M(3，－2)和N(－5，－1)，可得MN＝(－5－3，－1＋2)，
22uruuur1?1uuu?即MN＝?－4，2?. 设点P的坐标是(x，y)，则MP＝(x－3，y＋2)．
2uuur1uuuur1
－4，?， 由已知MP＝MN，可得(x－3，y＋2)＝?2??2
x－3＝－4，x＝－1，????3
－1，－?. 由此可得?解得?所以点P的坐标是?132??
???y＋2＝2，?y＝－2.
?? 2.3.4 平面向量共线的坐标表示
????1．D；解：D中，(6，－4)＝－2(－3,2)，∴b4＝－2a4，∴a4与b4共线，其他均不共线．
2．A；
????解：a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，
????1
由(a＋2b)∥ (2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝.
2?????1?????3．C；解：∵b＝(5,7)，c＝(2,4)，∴b－c＝(3,3)，∴b－c＝a，∴a与b－c共
2
线．
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????4．1；解：∵a＝(3，1)，b＝(0，－1)，∴a－2b＝(3，1)－(0，－2)＝(3，3)；
????又∵c＝(k，3)，且a－2b与c共线，∴3k＝3，即k＝1.
uuuruuur5．23；解：AB＝(x＋1，－6)，AC＝(4，－1)，
ruuuruuu∵AB∥AC，∴－(x＋1)＋24＝0，∴x＝23.
ruuuruuuruuuruuuruuu6．解：DA＝－AD＝－(AB＋BC＋CD)
uuur＝－[(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)]＝(－x－4，－y＋2)，BC＝(x，y)． uuuruuur1当BC∥DA时，x(－y＋2)－y(－x－4)＝0，化简得y＝－x.
2
uuuruuur1
所以当BC∥DA时，x、y应满足y＝－x.
2
?? 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
rruuu??uuub＝|AB|·1．D；解：如图，a·|BC|cos(π－B)，
∴cos B>0，B为锐角，但三角形不一定为锐角三角形．
??????2
b＝－|a|·2．C；解：∵a·(－b)＝－a·|b|cos 135°＝－4×6×(－)＝122.
2
????2????b＝0，∴a·b＝1. 3．B；解：由a·(a－b)＝0，∴a－a·
a·b12
又cos θ＝＝＝，且0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.
|a|·|b|1×22
????2?2?2??2b，∴b＋4＝8，|b|＝2. 4．2；解：∵(2a＋b|＝a＋b＋2a·???????12a·b12b5．；解：由a·＝|a||b|cos θ，可得a在b方向上的投影为|a|cos θ＝＝.
5|b|5
2)2＝8＝|
???536．解：(1) a在b方向上的投影为|a|cos θ＝5cos 150°＝－，
2????b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 150°＝－103. a·???a·b93(2) b在a方向上的投影为|b|cos θ＝＝＝. |a|62
a·b91
∵cos θ＝＝＝，且0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
|a||b|6×32
?? 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
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SL高中数学必修4三角函数平面向量三角恒等变换同步练习题精编详答
