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能够根据通项为等差数列与等比数列乘积的形式确定采用错位相减法求解数列的前n项和.
20.合肥一中、六中为了加强交流，增进友谊，两校准备举行一场足球赛，由合肥一中版画社的同学设计一幅矩形宣传画，要求画面面积为4000cm2，画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白.
（1）如何设计画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小? （2）设画面的高与宽的比为t，且
29?t?，求t为何值时，宣传画所用纸张面积最小? 5109. 10【答案】（1）画面的高80cm，宽50cm时所用纸张面积最小；（2）t?【解析】 【分析】
（1）设画面高为xcm，宽为
4000cm，纸张面积为S，可得到x6400??4000??S??x?16???10??4160?10?x??，利用基本不等式可求得最小值，同时确
xx????264004000xcm，定当x?时取最小值，从而得到结果；（2）画面高为xcm，宽为则t?，
xx4000根据t的范围可知x??40,60?，根据（1）中的S表达式，结合对号函数图象可知x?60时取最小值，从而得到结果.
【详解】（1）设画面高为xcm，宽为则S??x?16??4000cm，纸张面积为S x6400?6400?4000???10??4160?10?x??4160?10?2x??5760 ?xxx????- 16 -
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当且仅当x?6400，即x?80时取等号 x即画面的高为80cm，宽为50cm时所用纸张面积最小，最小值为：5760cm2.
24000xcm，则t?（2）设画面高为xcm，宽为 x4000?x?2010t，又29?t? ?x??40,60? 510??6400?? x?由（1）知：S?4160?10?x?由对号函数性质可知：S?x?在?40,60?上单调递减
?x?60，即t?9时，所用纸张面积最小 10【点睛】本题考查建立合适的函数模型解决实际问题，重点考查利用基本不等式、对号函数单调性求解函数最值的问题；关键是能够建立起合适的函数模型，易错点是忽略了自变量的取值范围，造成最值求解错误.
21.在?ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c. （1）若已知c?cosA?cosB??a?b，判断?ABC的形状； （2）若已知BC边上的高为
acb，求?的最大值. 2bc【答案】（1）?ABC是直角三角形；（2）22. 【解析】 【分析】
（1）由正弦定理将边化角，利用两角和差正弦公式化简可得?sinA?sinB?cosC?0，根据角的范围可知cosC?0，进而得到C??2，从而得到三角形为直角三角形；（2）利用三角形
b2?c2面积构造方程，代入余弦定理形式可整理出?2?sinA?cosA?，即
bccb?????22sin?A??，根据正弦型函数的最大值可求得结果. bc4??【详解】（1）由正弦定理得：sinC?cosA?cosB??sinA?sinB
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即sinCcosA?sinCcosB?sin?B?C??sin?A?C?
?sinCcosA?sinCcosB?sinBcosC?cosBsinC?sinAcosC?cosAsinC
?sinBcosC?sinAcosC??sinA?sinB?cosC?0
QA,B??0,?? ?sinA?0,sinB?0 ?sinA?sinB?0
则cosC?0，又C??0,?? ?C??2
∴?ABC为直角三角形
b2?c2?a2（2）由余弦定理得：cosA?…①
2bc又?ABC面积为
1a1a??b?c?sinA，即a2?2bcsinA 222cb???b2?c2代入①得：?2?sinA?cosA?，即：??22sin?A??
bc4??bcQA??0,?? ?A??cb??????22 ?bc?max【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、两角和差正弦公式、余弦定理以及三角形面积公式的应用、正弦型函数最值的求解等知识；求解最值的关键是能够将问题转化为三角函数最值的求解问题.
22.已知数列?an?中，a1?1，nan?1?2?a1?a2???an?，数列?bn?满足b1?2bnbn?1??bn.
(an?1)2的???5???,4?44?????sinA????1 ?
4?max??1，2（1）求数列?an?的通项公式；
111???（2）证明：； bn?1bn(n?1)2（3）证明：bn?1.
【答案】（1）an?n；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
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【解析】 【分析】
（1）代入n?1可求得a2?2；利用nan?1??n?1?an可整理得nan?1??n?1?an，从而得到
an?1n?1??n?2?，采用累乘法可得an?n?n?3?，验证n?1,2后可得an?n?n?N*?；ann（2）由bn?1?2bn2bn?n?1?2?bn?bn?bn?1?????b1?0可知数列?bn?是正项单调递增数列，利用1bnbn?1?bn整理可得结论；（3）当n?1时，结论显然成立；当
bn?1??n?1?2?bn??n?1?2?1111??????2??2，进一步将右侧缩为n?2时，结合（2）的结论可知???2?2bnn?n?1?2?????111?n?????????2b??1，从而可得结论. ，整理可得?nnn?1n?1n?22?1n?1??????????【详解】（1）由a1?1得：a2?2
由nan?1?2?a1?a2?????an?可得：?n?1?an?2?a1?a2?????an?1??n?2? 两式相减得：nan?1??n?1?an?2an，即：nan?1??n?1?an
?an?1n?1??n?2? annaa2a123n??????n?1??????n?n?3? a1a2an?112n?1?an?a1?验证可知n?1,2时，满足an?n 综上所述：an?nn?N?*?
21b?bn?b?b?b?????b?0（2）由b1?，n?1 nnn?1122?n?1??数列?bn?是正项单调递增数列
当n?1，bn?1?2bn?n?1?2?bn?1?n?1?2bnbn?1?bn
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?bn?1?bn1111111??????? 2，即2
bnbn?1bnbn?1?n?1?2bn?1bn?n?1??n?1?1?1显然成立 2（3）当n?1时，b1??1?11?11?11?11?????????2??2 当n?2时，?????????????2?2bn?bnbn?1?bbbn2???n?1??21?1???111?11111??1??????????2?????????????2??2?1?12??n?1nn?2n?1??n?n?1??n?1??n?2??1n?1?1????1???2?1??
nnn???bn?n?1 n?1综上可知，bn?1成立.
【点睛】本题考查数列与不等式知识的综合应用，涉及到利用递推关系式求解数列的通项公式、放缩法证明与数列有关的不等式；难点是在证明不等式时，能够准确的进行放缩，从而能够采用裂项的方法来求和，根据和的范围得到结论，属于较难题.
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安徽省合肥市2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)
