互动课堂
重难突破
一、射影
所谓射影，就是正投影.其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影.一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这条直线上的正投影.如图，在上的射影是线段；在上的射影是点；、在上的射影分别是、，这样，△中的六条线段就都有了名称，它们分别是:两条直角边(、)，斜边()，斜边上的高()，两条直角边在斜边上的射影(、).
图
二、直角三角形的射影定理
由于角的关系，图中，三个直角三角形具有相似关系，于是△的六条线段之间存在着比例关系.
△∽△,有△∽△,有△∽△,有
，转化为等积式即·； ，转化为等积式即·； ，转化为等积式即·.
用语言来表述，就是在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.
这一结论常作为工具用于证明和求值.如图，在△中，∠＝°，是上的高.已知 ＝， ＝，就可以求、.由射影定理，得·×＝.因为边长为正值，所以 ＝·×(＋)＝.所以＝.
我们还可以求出、，以及△的面积等.
图
三、刨根问底 问题
在直角三角形中，我们已经学过三边之间的一个重要关系式，如图，在△中，∠＝°，那么，这一结论被称作勾股定理，同样是在直角三角形中，勾股定理和射影定理有什么联系？如何说明这种联系？
探究:如图，在△中，∠＝°，是上的高.应用射影定理，可以得到＋＝· ·( )· .由此可见，利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的，现在我们又用射影定理证明了勾股定理，而且这种方法简洁明快，比面积法要方便得多.将两者结合起来，在直角三角形的六条线段中，应用射影定理、勾股定理，就可从任意给出的两条线段中，求出其余四条线段的长度.
问题
几何图形是最富于变化的，直角三角形更是如此，但不管怎样变化，其基本图形体现的规律却是相同的，如射影定理的基本图形,这时，从复杂图形中分离出基本图形，就成为解决问题的关键.那么从复杂图形中分离出基本图形有什么窍门吗？能举例说明吗？
探究:在图形的变化中熟悉并掌握射影定理的使用方法，有助于快速发现解题思路,这当中的关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图形.如:
()在图()中，求证··. ()在图()中，求证··. ()在图()中，求证:①··；②∶∶; ③∶∶.
就可以这样来思考:
在第()题中，观察图形则发现分别使用·和·即可得到证明.
第()题可用综合分析法探求解题的思路:欲证··，只需证
，而这四条线段分别
属于△和△，能发现这两个三角形存在公共角∠，可选用“两角对应相等”或“两边对应成比例，夹角相等”来证明相似.
图
或者在图()中可分解出两个射影定理的基本图形:“△中⊥”及“△中⊥”，在两个三角形中分别使用射影定理中的进行代换，得到· ·，化成比例式后，可用“两边对应成比例，夹角相等”来证明含有公共角∠的△和△相似.
你可以来尝试分析第()小题. 活学巧用
【例】直角三角形两直角边在斜边上的射影长分别为和,则两条直角边的长分别为( )
和
和
和
.
和
思路解析:直角三角形两直角边在斜边上的射影长分别为和,直接应用“射影定理”可求出两直角边的长分别为
和
.
答案
【例】如图()中，垂直平分，点在上，⊥，⊥，、分别为垂足.求证··.
思路解析:将图()分解出两个基本图形()和()，再观察结论，就会发现，所要证的等积式的左、右两边分别满足图()和()中的射影定理·，· ，通过代换线段的平方()就可以证明所要的结论.
数学人教A版选修4-1学案互动课堂 第一讲四 直角三角形的射影定理 Word版含解析
