C．简单线性回归的SS残差等于0 D．简单线性回归的SS残差等于SS总 E．简单线性回归的SS总等于0
5．用最小二乘法确定直线回归方程的含义是（ B ）。
A．各观测点距直线的纵向距离相等 B．各观测点距直线的纵向距离平方和最小 C．各观测点距直线的垂直距离相等 D．各观测点距直线的垂直距离平方和最小 E．各观测点距直线的纵向距离等于零
二、思考题
1．简述简单线性回归分析的基本步骤。
答：① 绘制散点图，考察是否有线性趋势及可疑的异常点；② 估计回归系数；③ 对总体回归系数或回归方程进行假设检验；④ 列出回归方程，绘制回归直线；⑤ 统计应用。 2．简述线性回归分析与线性相关的区别与联系。
答：区别：
（1）资料要求上，进行直线回归分析的两变量，若X为可精确测量和严格控制的变量，则对应于每个X的Y值要求服从正态分布；若X、Y都是随机变量，则要求X、Y服从双变量正态分布。直线相关分析只适用于双变量正态分布资料。
（2）应用上，说明两变量线性依存的数量关系用回归（定量分析），说明两变量的相关关系用相关（定性分析）。
（3）两个系数的意义不同。r说明具有直线关系的两变量间相互关系的方向与密切程度，b表示X每变化一个单位所导致Y的平均变化量。
（4）两个系数的取值范围不同：-1≤r≤1，???b??。 （5）两个系数的单位不同：r没有单位，b有单位。 联系：
（1）对同一双变量资料，回归系数b与相关系数r的正负号一致。b＞0时，r＞0，均表示两变量X、Y同向变化；b＜0时，r＜0，均表示两变量X、Y反向变化。
（2）回归系数b与相关系数r的假设检验等价，即对同一双变量资料，tb?tr。由于相关系数r的假设检验较回归系数b的假设检验简单，故在实际应用中常以r的假设检验代替b的假设检验。
（3）用回归解释相关：由于决定系数R=SS回 /SS总 ，当总平方和固定时，回归平方和的大小决定了相关的密切程度。回归平方和越接近总平方和，则R越接近1，说明引入相关的效果越好。例如当r=0.20，n=100时，可按检验水准0.05拒绝H0，接受H1，认为两变量有相关关系。但R=(0.20)2=0.04，表示回归平方和在总平方和中仅占4％，说明两变量间
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的相关关系实际意义不大。
3. 决定系数与相关系数的意义相同吗？如果不一样，两者关系如何？
答：现将相关系数、决定系数与Y的总变异的关系阐释如下：假如在一回归分析中，回归系数的变异数SS回归＝9，而Y的总变异数SS总＝13，则
决定系数R =SS回归 / SS总=9/14=0.642 9/1，相关系数R=0.801 8
即将决定系数表示为一比值关系，当SS总= l时，则SS回归= 0.642 9，我们可以采用直角三角形的“勾股定理”图示决定系数与相关系数的关系，如练习图10-1所示。
2三、计算题 SS回归 SS回归 练习图10-1 相关系数、决定系数与总变异的关系 面积=0.642 9 面积=9 SS残差 边长=0.801 8 边长=3 面积=4 SS残差 边长=2 1. 以例10-1中空气一氧化氮（NO）为因变量，风速（X4）为自变量，采用统计软件完成如下分析： SS回归 SS残差 SS回归 SS残差 （1）试用简单线性回归方程来描述空气中NO浓度与风速之间的关系。 =0.642 9 =0.357 1 =9 =4 ? （2）对回归方程和回归系数分别进行假设检验。SS总=1 SS总=13 （3）绘制回归直线图。 （4）根据以上的计算结果，进一步求其总体回归系数的95%置信区间。 （5）风速为1.50 m/s时，分别计算个体Y值的95%容许区间和Y的总体均数的95％置信区间，并说明两者的意义。
解：运用SPSS进行处理，主要分析结果如下：
（1）简单线性回归方程、假设检验结果及总体回归系数的95%置信区间如下： Coefficients(a) Unstandardized Standardized 95% Confidence Interval for B Coefficients Coefficients t Sig. B Std. Error Beta Lower Bound Upper Bound Constant 0.159 0.019 0.000 0.120 0.198 8.422 -0.053 0.012 -0.680 -4.345 0.000 -0.078 -0.028 风速 （2）方差分析结果：
ANOVA(b) Regression Residual Total Sum of Squares 0.038 0.044 0.081 df 1 22 23 Mean Square 0.038 0.002 F 18.878 Sig. 0.000(a) （3）回归直线如练习图10-2。
练习图10-2 回归直线图
?）与2. 教材表10-8为本章例10-1回归分析的部分结果，依次为X、Y、Y的估计值（Y?与X、Y与Y?、Y与残差（e），请以相关分析考察四者之间的关系，以回归分析考察Y?、Y?Y?与X之间的关系，并予以解释。 Y?Y教材表10-8 案例分析中回归分析的部分结果
X Y ? Y? X Y Y?Y? Y? Y?YX Y ? Y? Y?Y1.30 0.07 0.070 7 -0.004 7 1.20 0.10 0.054 8 1.44 0.08 0.093 5 -0.017 5 1.48 0.13 0.098 6 0.045 2 1.12 0.04 0.041 5 -0.002 5 0.030 4 1.66 0.06 0.127 1 -0.068 1 0.79 0.00 -0.010 8 0.011 8 1.82 0.14 0.153 1 -0.018 1 1.54 0.09 0.108 1 -0.021 1 1.65 0.17 0.126 5 0.043 5 1.44 0.10 0.092 2 0.006 8 0.96 0.04 0.016 8 0.022 2 1.76 0.16 0.142 9 0.013 1 0.95 0.01 0.014 9 -0.009 9 1.78 0.22 0.147 4 0.074 6 1.75 0.12 0.142 6 -0.022 6 1.44 0.01 0.092 9 -0.081 9 1.50 0.15 0.101 7 0.043 3 1.20 0.04 0.054 8 -0.014 8 1.08 0.00 0.036 5 -0.033 5 1.06 0.03 0.032 7 -0.003 7 1.50 0.12 0.102 4 0.017 6 1.84 0.14 0.156 9 -0.016 9 1.44 0.10 0.092 2 0.006 8 解：主要分析结果：
(1)四者之间的相关系数 Correlations
X
1 0.809 1.000 0.000
Y
0.809
1 0.809 0.586
Yhat
1.000 0.809
1 0.000
Y?Yhat
0.000 0.586 0.000 1
X Y Yhat Y?Yhat
** Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).
（2）四个变量间的回归系数 因变量
自变量
截距 -0.136 1.005 0.088
回归系数 0.159 0.001 0.999
t 456.016 6.457 3.394 0.000
P
0.000 0.000 0.003 1.000
? YY
X
? YY
? Y?YX
? Y?Y0.000 014 7 0.000 010 5
?与X呈完全正相关关系，回归系数t 检验结果P =0.000，表明Y?的变异可由X 完Y全解释。
?的相关系数与Y与X 的相关系数相同，表明正是由于X 的影响引起Y的变Y与Y?关系即体现了Y与X的变化关系。 异，Y与Y?体现了扣除X的影响后，Y与残差仍呈正相关关系。 Y与Y?Y?与X呈零相关关系，表明扣除了X的影响，回归方程的残差与X不再有相关或Y?Y回归关系。
（张岩波 郝元涛）
第11章 多重线性回归分析
思考与练习参考答案
一、 最佳选择题
1. 逐步回归分析中，若增加自变量的个数，则（ D ）。
A. 回归平方和与残差平方和均增大 B. 回归平方和与残差平方和均减小 C. 总平方和与回归平方和均增大 D. 回归平方和增大，残差平方和减小 E. 总平方和与回归平方和均减小
2. 下面关于自变量筛选的统计学标准中错误的是（ E ）。
A. 残差平方和（SS残差）缩小 B. 确定系数（R）增大
2C. 残差的均方（MS残差）缩小 D. 调整确定系数（Rad）增大
2E. Cp统计量增大
3. 多重线性回归分析中，能直接反映自变量解释因变量变异百分比的指标为 （ C ）。
A. 复相关系数 B. 简单相关系数 C.确定系数 D. 偏回归系数 E. 偏相关系数 4. 多重线性回归分析中的共线性是指（ E ）。
A.Y关于各个自变量的回归系数相同 B.Y关于各个自变量的回归系数与截距都相同
C.Y变量与各个自变量的相关系数相同 D.Y与自变量间有较高的复相关 E. 自变量间有较高的相关性
5. 多重线性回归分析中，若对某一自变量的值加上一个不为零的常数K,则有（ D ）。
A. 截距和该偏回归系数值均不变 B. 该偏回归系数值为原有偏回归系数值的
K倍
C. 该偏回归系数值会改变，但无规律 D. 截距改变，但所有偏回归系数值均不改变 E. 所有偏回归系数值均不会改变
二、思考题
1. 多重线性回归分析的用途有哪些？
答：多重线性回归在生物医学研究中有广泛的应用，归纳起来，可以包括以下几个方面：定量地建立一个反应变量与多个解释变量之间的线性关系，筛选危险因素，通过较易测量的变量估计不易测量的变量，通过解释变量预测反应变量，通过反应变量控制解释变量。
2. 多重线性回归模型中偏回归系数的含义是什么？
答：偏回归系数的含义是：在控制其他自变量的水平不变的情况下，该自变量每改变一个单位，反应变量平均改变的单位数。
3. 请解释用于多重线性回归参数估计的最小二乘法的含义。 答：最小二乘法的含义是：残差的平方和达到最小。 4. 如何判断和处理多重共线性？
答：如果自变量之间存在较强的相关，则存在多重共线性。可以通过分析自变量之间的相关系数、计算方差膨胀因子和容忍度等指标判断是否存在多重共线性。如果自变量间存在多重共线性，最简单的处理办法是删除变量，即在相关性较强的变量中删除测量误差大的、缺失数据多的、从专业上看意义不是很重要的或者在其他方面不太满意的变量。其次，也可采用主成分回归方法。
5. 如何判断、分析自变量间的交互作用？
答：基于专业背景知识，构造可能的交互作用项，并检验交互作用项是否有统计学意义。 6. 多重线性回归模型的基本假定有哪些？如何判断资料是否满足这些假定？如果资料不满足假定条件，常用的处理方法有哪些？
答：多重线性回归的前提条件是线性、独立性、正态性和等方差性，可以借助残差分析
生物医学研究的统计学方法_课后习题解答
