2019年
【2019最新】精选高考数学一轮复习第10章概率第2讲古典概型学
案
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 基本事件的特点
1．任何两个基本事件是互斥的．
2．任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
考点2 古典概型 1．古典概型的定义
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
2．古典概型的概率公式
P(A)＝.[必会结论]
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确的判断试验的
类型是解决概率问题的关键．
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球
被摸到的可能性相同．( )
(2)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相
同．( )
(3)利用古典概型的概率公式求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方
形中心距离小于或等于1”的概率．( )
(4)“从长为1的线段AB上任取一点C，求满足AC≤的概率是多少”是古典概型.
( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．[2018·武汉调研]同时抛掷两颗均匀的骰子，则向上的点数之差的绝对值为
2019年
4的概率为( ) A. B. C. D.6
答案 C
解析 同时抛掷两颗骰子，基本事件总数为36，记“向上的点数之差的绝对值为4”为事件A，则事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)，共4种，故
P(A)＝＝.
3.某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．如果他们依次走出教
室，则第2位走出的是男同学的概率为( )
A. B. C. D.5
答案 A
解析 已知2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，
女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率是P＝＝.
4．[2016·全国卷Ⅰ]为美化环境，从红，黄，白，紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花
坛的概率是( ) A. B. C. D.6
答案 C
解析 从红，黄，白，紫4种颜色的花中任选2种有以下选法：(红，黄)，(红，白)，(红，紫)，(黄，白)，(黄，紫)，(白，紫)，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种，所以所求事件的概率
P＝＝.故选C.
5．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，
则他们选择相同颜色运动服的概率为________．
答案
1
3511
解析 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可
能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为P＝＝.
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6．[2018·兰州诊断]从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本
书(每本书被抽中的机会相等)，则抽出的书是同一学科的概率等于________．
答案
13
解析 数学书为a1，a2，语文书为b1，b2，从中任取两本，基本事件为a1a2，a1b1，a1b2，a2b2，a2b1，b1b2，其中抽出的书是同一学科的取法共有a1a2，b1b22
种，因此所求的概率等于＝.
板块二 典例探究·考向突破 考向 简单的古典概型
例 1 (1)[2017·全国卷Ⅱ]从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概
率为( )
A. B. C. D.5
答案 D
解析 从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，
∴所求概率P＝＝.故选D.
(2)[2017·山东高考]从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2
次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
A. B. C. D.9
答案 C
解析 ∵9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取，
∴P(第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)＝×＝， P(第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)＝×＝. ∴P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝＋＝.故选C.
触类旁通
求古典概型概率的步骤
(1)读题，理解题意；
(2)判断试验结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
(3)分别求出基本事件总数n与所求事件A所包含的基本事件的个数m；
2
7
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(4)利用公式P(A)＝求出事件A的概率．
【变式训练1】 (1)[2017·天津高考]有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩
笔中含有红色彩笔的概率为( )
A. B. C. D.5
答案 C
解析 从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色 彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P＝＝.故选C.(2)[2018·海淀一模]现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学
校参加竞赛，则A1和B1不全被选中的概率为________．
答案
5
61
解析 从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，
B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．
设“A1和B1不全被选中”为事件N，则其对立事件表示“A1和B1全被选中”，由于＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P()＝＝，由对立事件的概率计算公式
得P(N)＝1－P()＝1－＝.
考向 较复杂的古典概型问题
命题角度1 古典概型与平面几何相结合
例 2 [2018·洛阳统考]将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线
ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．
答案
7
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解析 依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足≤，a2≤b2的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，
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(6,6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于＝.
命题角度2 古典概型与函数相结合
例 3 已知M＝{1,2,3,4}，若a∈M，b∈M，则函数f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在
R上为增函数的概率是( )
A. B. C. D.16
答案 A
解析 记事件A为“函数f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上为增函数”．因为f(x)＝ax3＋bx2＋x－3，所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋1.当函数f(x)在R上为增函数时，f′(x)≥0在R上恒成立．又a>0，所以Δ＝(2b)2－4×3a＝4b2－12a≤0在R上恒
成立，即a≥.
当b＝1时，有a≥，故a可取1,2,3,4，共4个数； 当b＝2时，有a≥，故a可取2,3,4，共3个数； 当b＝3时，有a≥3，故a可取3,4，共2个数；
当b＝4时，有a≥，故a无可取值．
综上，事件A包含的基本事件有4＋3＋2＝9种．
又a，b∈{1,2,3,4}，所以所有的基本事件共有4×4＝16种．
故所求事件A的概率为P(A)＝.故选A. 命题角度3 古典概型与平面向量相结合
例 4 [2018·宿迁模拟]已知k∈Z，＝(k,1)，＝(2,4)，若||≤4，则△ABC是
直角三角形的概率是________．
答案
3
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解析 因为||＝≤4，所以－≤k≤，
因为k∈Z，所以k＝－3，－2，－1,0,1,2,3，
当△ABC为直角三角形时，应有AB⊥AC，或AB⊥BC，或AC⊥BC，由·＝0，得2k＋4＝0，所以k＝－2，因为＝－＝(2－k,3)，由·＝0，得k(2－k)＋3＝0，所以k＝
－1或3，
由·＝0，得2(2－k)＋12＝0，所以k＝8(舍去)，故使△ABC为直角三角形的k
值为－2，－1或3，所以所求概率P＝.
触类旁通
较复杂的古典概型问题的求解方法
2020高考数学一轮复习第10章概率第2讲古典概型学案
